2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
如图，在长方体中，，为中点。
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为，求的长。
（1）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）。
设，则，，，，，故，，，。
因为，所以。
（2）假设在棱上存在一点，使得平面。此时。
又设平面的法向量。
因为平面，所以，，得
取，得平面的一个法向量。
要使平面，只要，有，解得。
又平面，故存在点，满足平面，此时。
（3）连接，，由长方体及，得。
又由（1）知，且，
所以平面，所以是平面的一个法向量，此时。
设与所成的角为，则。
二面角的大小为，
所以，即。
解得，即的长为。
本题主要考查立体几何异面直线垂直、线面平行、二面角。
采用建立空间直角坐标的方法。
（1）通过计算向量的数量积为零证明异面直线垂直；
（2）证明线面平行可以通过证明直线与平面的法向量垂直得到；
（3）设，由平面，可得平面的法向量，（2）中已求得平面的法向量，于是可得二面角的平面角的余弦值，由题意为，即可解得。
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