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2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):理数第19题

  2016-10-28 19:07:51  

(2012福建卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为

(1)求椭圆的方程。

(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):理数第19题
【答案】

(1)因为

所以

又因为,即,所以

所以

故椭圆的方程是

(2)由,得

因为动直线与椭圆有且只有一个公共点,所以

,化简得

此时,所以

假设平面内存在定点满足条件,因为对于任意以为直径的圆恒过定点,所以当平行于轴时,圆也过定点,即此时点坐标为,由图形对称性知两个圆在轴上过相同的交点,即点必在轴上。

,则对满足式的恒成立。

因为,由

整理,得

由于式对满足式的恒成立,所以解得

故存在定点,使得以为直径的圆恒过点

解读

本题中根据对称性确定如果存在满足条件的点,则必在轴上,这一点是重点。

【解析】

本题主要考查对圆锥曲线的基本概念的理解。

(1)根据已知条件给出的离心率,可知的相互关系。再利用的周长为8这个已知条件,最后求解。

(2)假设存在,则分别联立两条直线与椭圆的方程。表示出点的坐标值,然后代入求出的坐标。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
直接法数形结合


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