(本小题满分13分)
如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为。
(1)求椭圆的方程。
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
(1)因为,
即,
又,
所以,。
又因为,即,所以,
所以。
故椭圆的方程是。
(2)由,得。
因为动直线与椭圆有且只有一个公共点,所以且,
即,化简得
此时,,所以。
由得。
假设平面内存在定点满足条件,因为对于任意以为直径的圆恒过定点,所以当平行于轴时,圆也过定点,即此时点坐标为或,由图形对称性知两个圆在轴上过相同的交点,即点必在轴上。
设,则对满足式的,恒成立。
因为,,由,
得,
整理,得
由于式对满足式的,恒成立,所以解得。
故存在定点,使得以为直径的圆恒过点。
本题中根据对称性确定如果存在满足条件的点,则必在轴上,这一点是重点。
本题主要考查对圆锥曲线的基本概念的理解。
(1)根据已知条件给出的离心率,可知的相互关系。再利用的周长为8这个已知条件,最后求解。
(2)假设存在,则分别联立两条直线与椭圆的方程。表示出点、的坐标值,然后代入求出的坐标。