2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第15题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第17题
（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，。
（1）求证：平面；
（2）若，求与所成角的余弦值；
（3）当平面与平面垂直时，求的长。
（1）因为四边形是菱形，所以。
又因为平面，所以，所以平面。
（2）设。因为，，所以，。
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，。
所以，。
设与所成角为，
则。
（3）由（2）知。
设，则。
设平面的法向量，
则，。
所以
令，则，。
所以，同理，平面的法向量。
因为平面平面，所以，即，解得，所以。
本题主要考查立体几何中直线与面的关系和二面角的求法。
（1）证明直线垂直于平面，及证明直线与平面中相交的两条直线分别垂直，观察图，可证明与；
（2）求与所成角的余弦值，用向量法在与的交点建立直角坐标系。用该坐标系将各点的坐标表示出，即可求出异面直线的夹角；
（3）当平面与平面垂直时，可分别求出两平面的法向量，再利用两平面的法向量也相互垂直的关系求出的长。
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