(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,。
(1)求证:平面;
(2)若,求与所成角的余弦值;
(3)当平面与平面垂直时,求的长。
(1)因为四边形是菱形,所以。
又因为平面,所以,所以平面。
(2)设。因为,,所以,。
如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,,,。
所以,。
设与所成角为,
则。
(3)由(2)知。
设,则。
设平面的法向量,
则,。
所以
令,则,。
所以,同理,平面的法向量。
因为平面平面,所以,即,解得,所以。
本题主要考查立体几何中直线与面的关系和二面角的求法。
(1)证明直线垂直于平面,及证明直线与平面中相交的两条直线分别垂直,观察图,可证明与;
(2)求与所成角的余弦值,用向量法在与的交点建立直角坐标系。用该坐标系将各点的坐标表示出,即可求出异面直线的夹角;
(3)当平面与平面垂直时,可分别求出两平面的法向量,再利用两平面的法向量也相互垂直的关系求出的长。