高考数学必做百题第93题（理科2017版）

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093.（1）“因为对数函数$y={{\log }_{a}}x$是增函数(大前提)，而$y={{\log }_{\dfrac{1}{4}}}x$是对数函数(小前提)，所以$y={{\log }_{\dfrac{1}{4}}}x$是增函数(结论)”，以上推理的错误是(　　)

$A$．大前提错误导致结论错误

$B$．小前提错误导致结论错误

$C$．推理形式错误导致结论错误

$D$．大前提和小前提错误导致结论错误

（2）若定义在区间$D$上的函数$f\left( x \right)$对于$D$上的$n$个值${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}}$总满足

$\dfrac{1}{n}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)+\cdots +f\left( {{x}_{n}} \right) \right]\le f\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n} \right)$，称函数$f\left( x \right)$为$D$上的凸函数。

现已知$f\left( x \right)=\sin x$在$\left( 0,\pi  \right)$上是凸函数，则在$\Delta ABC$中，$\sin A+\sin B+\sin C$的最大值是___。

解：（1）当$a>1$时，函数$y={{\log }_{a}}x$是增函数；当$0<a<1$时，函数$y={{\log }_{a}}x$是减函数。

∴大前提错误导致结论错误。故选$A$。

（2）已知

$\dfrac{1}{n}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)+\cdots +f\left( {{x}_{n}} \right) \right]\le f\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n} \right)$            (大前提)

∵$f\left( x \right)=\sin x$在$\left( 0,\pi  \right)$上是凸函数，(小前提)

∴$\dfrac{1}{3}\left[ f\left( A \right)+f\left( B \right)+f\left( C \right) \right]\le f\left( \dfrac{A+B+C}{3} \right)$，(结论)

即$\dfrac{1}{3}\left( \sin A+\sin B+\sin C \right)\le \sin \dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

∴$\sin A+\sin B+\sin C$的最大值是$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。

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