高考数学必做百题第92题（理科2017版）

①$\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$；②$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}<\sqrt{2}$；③$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{12}}<\sqrt{3}$，

则第5个不等式为________；

（2）观察下列等式

(1＋1)＝2×1

(2＋1)(2＋2)＝22 ×1×3

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23 ×1×3×5

……

照此规律，第n个等式可为________；

（3）二维空间中圆的一维测度(周长)$l=2\pi r$，二维测度(面积) $S=\pi {{r}^{2}}$，观察发现$S'\text{=}l$；

三维空间中球的二维测度(表面积) $S=4\pi {{r}^{2}}$，三维测度(体积) $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$，观察发现$V'=S$。

则四维空间中“超球”的四维测度$W=2\pi {{r}^{4}}$，猜想其三维测度V＝________。

解：（1）∵$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1\times 2}}<1$，

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{1\times 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2\times 3}}<\sqrt{2}$，

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{12}}=\dfrac{1}{\sqrt{1\times 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2\times 3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\times 4}}<\sqrt{3}$，

∴第5个不等式为

$\dfrac{1}{\sqrt{1\times 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2\times 3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\times 4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4\times 5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5\times 6}}<\sqrt{5}$，即$\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{12}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}}+\dfrac{1}{\sqrt{30}}<\sqrt{5}$。

（2）由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为$\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\cdots \left( n+n \right)$，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n 与n个奇数之积，即${{2}^{n}}\times 1\times 3\times \cdots \times \left( 2n-1 \right)$。

∴第n个等式可为

$\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\cdots \left( n+n \right)={{2}^{n}}\times 1\times 3\times \cdots \times \left( 2n-1 \right)$。（3）由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数。类比上述结论，那么“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即$V=W'=\left( 2\pi {{r}^{4}} \right)'=8\pi {{r}^{3}}$。

∴“超球”的三维测度是$V=8\pi {{r}^{3}}$。