高考数学必做百题第94题（理科2017版）

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094．设数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是公比为$q$的等比数列，${{S}_{n}}$是它的前$n$项和。

（1）求证：数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等比数列；

（2）数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列吗？为什么？

（1）证明：假设数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等比数列，则$S_{2}^{2}={{S}_{1}}{{S}_{3}}$，

即$a_{1}^{2}{{\left( 1+q \right)}^{2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)$，

∵${{a}_{1}}\ne 0$，∴${{\left( 1+q \right)}^{2}}=1+q+{{q}^{2}}$，

即$q=0$，这与公比$q\ne 0$矛盾，

∴数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等比数列。

（2）解：当$q=1$时，${{S}_{n}}=n{{a}_{1}}$，

∴$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列；

当$q\ne 1$时，$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等差数列，否则是等差数列，

那么 $2S_{2}^{{}}={{S}_{1}}+{{S}_{3}}$，

即$2{{a}_{1}}\left( 1+q \right)={{a}_{1}}+{{a}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)$，

得$q=0$，这与公比$q\ne 0$矛盾。

综上，当$q=1$时，数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列；当$q\ne 1$时，$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等差数列。

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