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高考数学必做百题第93题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第95题（理科2017版）
094．设数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是公比为$q$的等比数列，${{S}_{n}}$是它的前$n$项和。
（1）求证：数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等比数列；
（2）数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列吗？为什么？
（1）证明：假设数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等比数列，则$S_{2}^{2}={{S}_{1}}{{S}_{3}}$，
即$a_{1}^{2}{{\left( 1+q \right)}^{2}}={{a}_{1}}\cdot {{a}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)$，
∵${{a}_{1}}\ne 0$，∴${{\left( 1+q \right)}^{2}}=1+q+{{q}^{2}}$，
即$q=0$，这与公比$q\ne 0$矛盾，
∴数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等比数列。
（2）解：当$q=1$时，${{S}_{n}}=n{{a}_{1}}$，
∴$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列；
当$q\ne 1$时，$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等差数列，否则是等差数列，
那么 $2S_{2}^{{}}={{S}_{1}}+{{S}_{3}}$，
即$2{{a}_{1}}\left( 1+q \right)={{a}_{1}}+{{a}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)$，
得$q=0$，这与公比$q\ne 0$矛盾。
综上，当$q=1$时，数列$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$是等差数列；当$q\ne 1$时，$\left\{ {{S}_{n}} \right\}$不是等差数列。
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