高考数学必做百题第91题（理科2017版）

（1）求曲线$y=f\left( x \right)$在点$\left( 0\ \ \ f\left( 0 \right) \right)$处的切线方程；

（2）求证：当$x\in \left( 0\ \ \ 1 \right)$时，$f\left( x \right)>2\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)$；

（3）设实数$k$使得$f\left( x \right)>k\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)$对$x\in \left( 0\ \ \ 1 \right)$恒成立，求$k$的最大值。

解：（1）∵$f\left( x \right)=\ln \dfrac{1+x}{1-x}$，$x\in \left( -1,1 \right)$，（依据曲线在某点处的几何意义求切线方程，简单！）

∴$f'\left( x \right)=\dfrac{2}{1-{{x}^{2}}}$，$f'\left( 0 \right)=2$，$f\left( 0 \right)=0$，

∴曲线$y=f\left( x \right)$在点$\left( 0\ \ \ f\left( 0 \right) \right)$处的切线方程为$2x-y=0$。

（2）（证明不等式恒成立，转化为构建新函数的单调性问题解决，一般应用导数单调法证明）

当$x\in \left( 0\ \ \ 1 \right)$时，$f\left( x \right)>2\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)$成立，即不等式$f\left( x \right)-2\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)>0$，对$\forall x\in \left( 0\ \ \ 1 \right)$成立。

设$F(x)=\ln \dfrac{1+x}{1-x}-2(x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3})$ $=\ln (1+x)-\ln (1-x)-2(x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3})$，

（作差法构建新函数，取导数）

则${F}'(x)=\dfrac{2{{x}^{4}}}{1-{{x}^{2}}}$，

当$x\in \left( 0\ \ \ 1 \right)$时，${F}'(x)>0$，

∴$F\left( x \right)$在$\left( 0,1 \right)$上为增函数，

（导数单调法证明不等式成立）

∴$F(x)>F(0)=0$，即对$\forall x\in \left( 0,1 \right)$，$f(x)>2\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)$成立。 

（3）（已知含参数的不等式恒成立，转化为作差法构建新函数，应用导数单调法揭示其单调性，进而求得参数的最大值，总体方法与（Ⅱ）相同）

使$f(x)>k\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)$，$x\in \left( 0,1 \right)$成立，等价于$F(x)=\ln \dfrac{1+x}{1-x}-k\left( x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)>0$，$x\in \left( 0,1 \right)$成立。

∵${F}'\left( x \right)=\dfrac{2}{1-{{x}^{2}}}-k\left( 1+{{x}^{2}} \right)=\dfrac{k{{x}^{4}}+2-k}{1-{{x}^{2}}}$，（构建新函数，应用导数单调法揭示函数的单调性）

①当$k\in \left[ 0,2 \right]$时，${F}'\left( x \right)\ge 0$，函数在$\left( 0,1 \right)$上是增函数，$F\left( x \right)>F\left( 0 \right)=0$，符合题意；

②当$k>2$时，令${F}'\left( x \right)=0$，得${{x}_{0}}^{4}=\dfrac{k-2}{k}\in \left( 0,1 \right)$，（证明$F\left( x \right)>F\left( 0 \right)=0$在$\left( 0,1 \right)$上不恒成立）

 ∴$F\left( x \right)$在$\left( 0,{{x}_{0}} \right)$上单调递减，于是$F\left( x \right)<F\left( 0 \right)=0$，

显然$F\left( x \right)>F\left( 0 \right)=0$在$\left( 0,1 \right)$上不恒成立，不符合题意。

综上所述，$k$的最大值为2。