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高考数学必做百题第89题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第91题（理科2017版）
090.已知函数f(x)=ex−m−x，其中m为常数。
（1）若对任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；
（2）当m>1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由。
解：（1）∵f(x)=ex−m−x在R上连续，
∴f′(x)=ex−m−1，
令f′(x)=0，得x=m。
当x∈(−∞,m)时，ex−m<1，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当x∈(m,+∞)时，ex−m>1，f′(x)>0，则f(x)单调递增。
∴当x=m时，f(m)=1−m为极小值也是最小值。
∵对任意x∈R ，f(x)≥0恒成立时，当且仅当
f(m)=1−m≥0，即m≤1。
∴所求m的取值范围是(−∞,1]。
（2）当m>1时，f(m)=1−m<0。
∵f(0)=e−m>0，∴f(0)⋅f(m)<0，
且f(x)在(0,m)上单调递减。
∴f(x)在(0,m)上有一个零点。（在(m,2m)呢?）
∵f(2m)=em−2m，令g(m)=em−2m，
∵当m>1时，g′(m)=em−2>0，
∴g(m)在(1,+∞)上单调递增，
∴g(m)>g(1)=e−2>0，即f(2m)>0，
∴f(m)⋅f(2m)<0，
∴f(x)在(m,2m)上有一个零点。
综上所述，f(x)在[0,2m]上有两个零点。
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