高考数学必做百题第90题（理科2017版）

（1）若对任意$x\in R$有$f\left( x \right)\ge 0$恒成立，求$m$的取值范围；

（2）当$m>1$时，判断$f\left( x \right)$在$\left[ 0,2m \right]$上零点的个数，并说明理由。

解：（1）∵$f\left( x \right)={{e}^{x-m}}-x$在$R$上连续，

∴$f'\left( x \right)={{e}^{x-m}}-1$，

令$f'\left( x \right)=0$，得$x=m$。

当$x\in \left( -\infty ,m \right)$时，${{e}^{x-m}}<1$，$f'\left( x \right)<0$，则$f\left( x \right)$单调递减；

当$x\in \left( m,+\infty  \right)$时，${{e}^{x-m}}>1$，$f'\left( x \right)>0$，则$f\left( x \right)$单调递增。

∴当$x=m$时，$f\left( m \right)=1-m$为极小值也是最小值。

∵对任意$x\in R$ ，$f\left( x \right)\ge 0$恒成立时，当且仅当

$f\left( m \right)=1-m\ge 0$，即$m\le 1$。

∴所求$m$的取值范围是$\left( -\infty ,1 \right]$。

（2）当$m>1$时，$f\left( m \right)=1-m<0$。

∵$f\left( 0 \right)={{e}^{-m}}>0$，∴$f\left( 0 \right)\cdot f\left( m \right)<0$，

且$f\left( x \right)$在$\left( 0,m \right)$上单调递减。

∴$f\left( x \right)$在$\left( 0,m \right)$上有一个零点。（在$\left( m,2m \right)$呢?）

∵$f\left( 2m \right)={{e}^{m}}-2m$，令$g\left( m \right)={{e}^{m}}-2m$，

∵当$m>1$时，$g'\left( m \right)={{e}^{m}}-2>0$，

∴$g\left( m \right)$在$\left( 1,+\infty  \right)$上单调递增，

∴$g\left( m \right)>g\left( 1 \right)=e-2>0$，即$f\left( 2m \right)>0$，

∴$f\left( m \right)\cdot f\left( 2m \right)<0$，

∴$f\left( x \right)$在$\left( m,2m \right)$上有一个零点。

综上所述，$f\left( x \right)$在$\left[ 0,2m \right]$上有两个零点。