高考数学必做百题第83题（理科2017版）

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线$l$与椭圆相交于不同的两点$A,B,$已知点$A(-a,0)$。

（i）若$\left| AB \right|=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$，求直线$l$的倾斜角；

（ii）若点$Q(0,{{y}_{0}})$在线段$AB$的垂直平分线上，且$\overrightarrow{QA}\centerdot \overrightarrow{QB}=4$，求${{y}_{0}}$的值。

解：（1）∵$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$∴$3{{a}^{2}}=4{{c}^{2}}$。

又${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$，解得$a=2b$。

∵${{S}_{}}\text{=}\dfrac{1}{2}\times 2\text{a}\times 2b=4$，∴$ab=2$。

解方程组$\left\{ \begin{align}  & a=2b \\ & ab=2 \\ \end{align} \right.$得$\left\{ \begin{align}  & a=2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$，

∴椭圆的方程为$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$。

（2）（i）由（1）可知点$A(-2,0)$，设点$B$的坐标为$B({{x}_{1}},{{y}_{1}})$，直线$l$的斜率为$k$，则直线$l$的方程为$y=k(x+2)$。

于是$A,B,$两点的坐标满足方程组$\left\{ \begin{align}  & y=k(x+2) \\ & \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$

消去$y$，整理得

$(1+4{{k}^{2}}){{x}^{2}}+16{{k}^{2}}x+(16{{k}^{2}}-4)=0$，

∵$-2{{x}_{1}}=\dfrac{16{{k}^{2}}-4}{1+4{{k}^{2}}}$，∴${{x}_{1}}=\dfrac{2-8{{k}^{2}}}{1+4{{k}^{2}}}$，

从而${{y}_{1}}=\dfrac{4k}{1+4{{k}^{2}}}$。

∴$\left| AB \right|=\sqrt{{{\left( -2-\dfrac{2-8{{k}^{2}}}{1+4{{k}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4k}{1+4{{k}^{2}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{1+{{k}^{2}}}}{1+4{{k}^{2}}}$

。∵$\left| AB \right|=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$，∴$\dfrac{4\sqrt{1+{{k}^{2}}}}{1+4{{k}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$，

整理得$32{{k}^{4}}-9{{k}^{2}}-23=0$，即

$({{k}^{2}}-1)(32{{k}^{2}}+23)=0$，解得$k=\pm 1$。

∴直线$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi }{4}$或$\dfrac{3\pi }{4}$。

（ii）设线段$AB$的中点为$M$，由（i）得到$M$的坐标为$\left( -\dfrac{8{{k}^{2}}}{1+4{{k}^{2}}},\dfrac{2{{k}^{{}}}}{1+4{{k}^{2}}} \right)$。

①当$k=0$时，点$B$的坐标是$(2,0)$，线段$AB$的垂直平分线为$y$轴，于是

$\overrightarrow{QA}=(-2,-{{y}_{0}}),\overrightarrow{QB}=(2,-{{y}_{0}})$。

∵$\overrightarrow{QA}\centerdot \overrightarrow{QB}=4$，∴${{y}_{0}}=\pm 2\sqrt{2}$。

②当$k\ne 0$时，线段$AB$的垂直平分线方程为$y-\dfrac{2{{k}^{{}}}}{1+4{{k}^{2}}}=-\dfrac{1}{k}(x+\dfrac{8{{k}^{2}}}{1+4{{k}^{2}}})$。

令$x=0$，解得${{y}_{0}}=-\dfrac{6k}{1+4{{k}^{2}}}$。

由$\overrightarrow{QA}=(-2,-{{y}_{0}}),\overrightarrow{QB}=({{x}_{1}},{{y}_{1}}-{{y}_{0}})$，

$\overrightarrow{QA}\centerdot \overrightarrow{QB}=-2{{x}_{1}}-{{y}_{0}}({{y}_{1}}-{{y}_{0}})$，

$=\dfrac{16{{k}^{2}}-4}{1+4{{k}^{2}}}+\dfrac{6{{k}^{{}}}}{1+4{{k}^{2}}}\left( \dfrac{4{{k}^{{}}}}{1+4{{k}^{2}}}+\dfrac{6{{k}^{{}}}}{1+4{{k}^{2}}} \right)$

$=\dfrac{4(16{{k}^{4}}+15{{k}^{2}}-1)}{{{(1+4{{k}^{2}})}^{2}}}=4$，整理得$7{{k}^{2}}=2$，

∴$k=\pm \dfrac{\sqrt{14}}{7}$，∴${{y}_{0}}=\pm \dfrac{2\sqrt{14}}{5}$。

综上，${{y}_{0}}=\pm 2\sqrt{2}$或${{y}_{0}}=\pm \dfrac{2\sqrt{14}}{5}$。