高考数学必做百题第82题（理科2017版）

的左、右焦点分别为${{F}_{1}},{{F}_{2}}$，已知椭圆$E$上任意一点$P$，满足$\overrightarrow{P{{F}_{1}}}\centerdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}\ge \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$，过${{F}_{1}}$作垂直于椭圆长轴的弦长为3。

（1）求椭圆$E$的方程；

（2）若过${{F}_{1}}$的直线交椭圆于$A,B$两点，求$\overrightarrow{{{F}_{1}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}$的取值范围。

解：（1）设椭圆$E$上点$P({{x}_{0}},{{y}_{0}})$，则

$\overrightarrow{P{{F}_{1}}}=(-c-{{x}_{0}},-{{y}_{0}})$，$\overrightarrow{P{{F}_{2}}}=(c-{{x}_{0}},-{{y}_{0}})$，

∵$0\le {{x}_{0}}^{2}\le {{a}^{2}}$，

∴$\overrightarrow{P{{F}_{1}}}\centerdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}=x_{0}^{2}-{{c}^{2}}+y_{0}^{2}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}x_{0}^{2}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}\ge {{b}^{2}}-{{c}^{2}}$

∵$\overrightarrow{P{{F}_{1}}}\centerdot \overrightarrow{P{{F}_{2}}}\ge \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$，∴${{b}^{2}}-{{c}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$，∴$a=2c$。

又∵$\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，∴$y=\pm \dfrac{{{b}^{2}}}{a},\dfrac{{{b}^{2}}}{a}=\dfrac{3}{2}$，

求得${{a}^{2}}=4,{{b}^{2}}=3$，

∴椭圆的方程为：$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$。

（2）当过${{F}_{1}}$直线$AB$的斜率不存在时，点$A(-1,\dfrac{3}{2}),B(-1,-\dfrac{3}{2})$，则$\overrightarrow{{{F}_{2}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}=-\dfrac{1}{2}$；当过${{F}_{1}}$直线$AB$的斜率存在时，设斜率为$k$，则直线$AB$的方程为$y=k(x+1)$，设$A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$，

由$\left\{ \begin{align}  & y=k(x+1) \\ & \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1 \\ \end{align} \right.$ 得

$(4{{k}^{2}}+3){{x}^{2}}+8{{k}^{2}}x+4{{k}^{2}}-12=0$,由韦达定理，

∴${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-8{{k}^{2}}}{4{{k}^{2}}+3},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{4{{k}^{2}}-12}{4{{k}^{2}}+3}$，

∴$\overrightarrow{{{F}_{2}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}=({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)+{{y}_{1}}{{y}_{2}}$

$=({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)+{{k}^{2}}({{x}_{1}}+1)({{x}_{2}}+1)$

$=({{k}^{2}}+1){{x}_{1}}{{x}_{2}}+({{k}^{2}}-1)({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+({{k}^{2}}+1)$

$=\dfrac{7{{k}^{2}}-9}{4{{k}^{2}}+3}=\dfrac{7}{4}-\dfrac{57}{4(4{{k}^{2}}+3)}$

∵${{k}^{2}}\ge 0$，∴$-3\le \overrightarrow{{{F}_{2}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}<\dfrac{7}{4}$

∴$\overrightarrow{{{F}_{2}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}$的取值范围是$-3\le \overrightarrow{{{F}_{2}}A}\centerdot \overrightarrow{{{F}_{2}}B}<\dfrac{7}{4}$。