高考数学必做百题第81题（理科2017版）

（1）求椭圆的方程；

（2）设$AB$分别为椭圆的左右顶点, 过点$F$且斜率为$k$的直线与椭圆交于$C,D$两点. 若$\overrightarrow{AC}\centerdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\centerdot \overrightarrow{CB}=8$, 求$k$的值。

解：（1）设$F(-c,0),$，∵$\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}c$，

∵过点$F$且与$x$轴垂直的直线为$x=-c$，

代入椭圆方程得$\dfrac{{{(-c)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，解得$y=\pm \dfrac{\sqrt{6}b}{3}$，

于是$\dfrac{2\sqrt{6}b}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，解得$b=\sqrt{2}$，

由${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2$，$a=\sqrt{3}c$，解得$a=\sqrt{3},c=1$。

∴所求椭圆的方程为$\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{{{y}^{2}}}{2}=1$。

（2）设$C({{x}_{1}},{{y}_{1}}),D({{x}_{2}},{{y}_{2}})$， 

∵过点$F$且斜率为$k$的直线

$CD$方程为$y=k(x+1)$，

由$\left\{ \begin{align}  & y=k(x+1) \\ & \dfrac{{{x}^{2}}}{3}+\dfrac{{{y}^{2}}}{2}=1 \\ \end{align} \right.$  得

$(2+3{{k}^{2}}){{x}^{2}}+6{{k}^{2}}x+3{{k}^{2}}-6=0$

∴${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{6{{k}^{2}}}{2+3{{k}^{2}}},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{3{{k}^{2}}-6}{(2+3{{k}^{2}})}$，

∵$A(-\sqrt{3},0),b(\sqrt{3},0)$,

∴$\overrightarrow{AC}\centerdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\centerdot \overrightarrow{CB}$

$\begin{align}  & =({{x}_{1}}+\sqrt{3},{{y}_{1}})\centerdot (\sqrt{3}-{{x}_{2}},-{{y}_{2}})+({{x}_{2}}+\sqrt{3},{{y}_{2}})\centerdot (\sqrt{3}-{{x}_{1}},-{{y}_{1}}) \\ & =6-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{y}_{1}}{{y}_{2}}=6-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{k}^{2}}({{x}_{1}}+1)({{x}_{2}}+1) \\ & =6-(2+2{{k}^{2}}){{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{k}^{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})-2{{k}^{2}} \\ & =6+\dfrac{2{{k}^{2}}+12}{2+3{{k}^{2}}}=8 \\ \end{align}$

，解得$k=\pm \sqrt{2}$。

∴$k$的值为$k=\pm \sqrt{2}$。