高考数学必做百题第80题（理科2017版）

（1） 求动点$M$的轨迹$C$的方程；

（2） 过点$P(0,3)$的直线与轨迹$C$交于$A,B$两点。 若$A$是$PB$的中点, 求直线$m$的斜率。 

解:（1）∵点$M(x,y)$到直线$l:x=4$的距离，是到点$N(1,0)$的距离的2倍，则 

∴$\left| x-4 \right|=2\sqrt{{{(x-1)}^{2}}\text{+}{{\text{y}}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$. 

∴动点$M$的轨迹为椭圆，其方程为$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$。 

（2）设$A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}}),$，

∵$A$是$PB$的中点，又$P(0,3)$,

$\begin{align}  & \therefore 2{{x}_{1}}=0+{{x}_{2}},2{{y}_{1}}=3+{{y}_{2}} \\ &  \\ \end{align}$，

∵椭圆的上下顶点坐标分别是$(0,\sqrt{3})$和$(0,-\sqrt{3})$

∴直线$m$不经过这两点，即直线$m$斜率$k$存在。

设直线$m$方程为$y=kx+3$，

由$\left\{ \begin{align}  & \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1 \\ & y=kx+3 \\ \end{align} \right.$  得

$(3+4{{k}^{2}}){{x}^{2}}+24kx+24=0$ ，

$\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-24k}{3+4{{k}^{2}}},{{x}_{1}}\centerdot {{x}_{2}}=\dfrac{24}{3+4{{k}^{2}}}$

$\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{1}{2}+2\Rightarrow \dfrac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}}{{}^{2}}-2{{x}_{1}}\centerdot {{x}_{2}}}{{{x}_{1}}\centerdot {{x}_{2}}}=\dfrac{5}{2}$ 

$\Rightarrow \dfrac{{{(-24k)}^{2}}}{(3+4{{k}^{2}})\centerdot 24}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow k=\pm \dfrac{3}{2}$ 

∴直线$m$的斜率$k=\pm \dfrac{3}{2}$。