高考数学必做百题第79题（理科2017版）

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点。若|MF|＝2，求点M的坐标；

（2）设斜率为k(|k|＜$\sqrt{2}$)的直线l交C于P、Q两点．若l与圆x2 ＋y2 ＝1相切，求证：OP⊥OQ。

（1）解：∵双曲线C：$\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{2}}-{{y}^{2}}=1$，

∴左焦点F$(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},0)$，

设M(x，y)，则|MF|2 ＝${{(x+\dfrac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}+{{y}^{2}}={{(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$，

由M点是右支上一点，知x≥$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，

∴$\left| MF \right|=\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，得$x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，

∴，∴M$(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\pm \sqrt{2})$。

（2）证明：设直线PQ的方程是y＝kx＋b，

∵直线PQ与已知圆相切，

∴$\dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=1$，即b2 ＝k2 ＋1。

设P(x1 ，y1 )、Q(x2 ，y2 )，

由$\left\{ \begin{align}  & y=kx+b \\ & 2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$得(2－k2 )x2 －2kbx－b2 －1＝0。

∴$\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2kb}{2-{{k}^{2}}} \\ & {{x}_{1}}\centerdot {{x}_{2}}=\dfrac{-1-{{b}^{2}}}{2-{{k}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

∵${{y}_{1}}{{y}_{2}}=(k{{x}_{1}}+b)(k{{x}_{2}}+b)={{k}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}+kb({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{b}^{2}}$

∴$\overrightarrow{OP}\centerdot \overrightarrow{OQ}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=(1\text{+}{{k}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}\text{+}kb({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{b}^{2}}$

          $\text{=}\dfrac{(1\text{+}{{k}^{2}}\left( -1-{{b}^{2}} \right)}{2-{{k}^{2}}}+\dfrac{2{{k}^{2}}{{b}^{2}}}{2-{{k}^{2}}}+{{b}^{2}}$

         $=\dfrac{{{b}^{2}}-{{k}^{2}}-1}{2-{{k}^{2}}}$

∵${{b}^{2}}={{k}^{2}}+1$，∴$\dfrac{{{b}^{2}}-{{k}^{2}}-1}{2-{{k}^{2}}}=0$

∴$\overrightarrow{OP}\centerdot \overrightarrow{OQ}=0$，∴OP⊥OQ。