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高考数学必做百题第77题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第79题（理科2017版）
078.（1）已知点P是抛物线y2 ＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________；
（2）如图，过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点$A,B$，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，
且$\left| AF \right|=3$，则抛物线的方程为______。
解：（1）将x＝4代入抛物线方程y2 ＝4x，得y＝±4，∵|a|＞4，∴A在抛物线的外部，
如图，∵F(1,0)，则抛物线上点
P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，
由抛物线定义，∴|PA|＋|PM|
＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1，
当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时
|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝－1。
（2）如图，分别过$A,B$作AA1 ⊥l于A1 ，BB1 ⊥l于B1 ，
由抛物线定义
|AF|＝|AA1 |，|BF|＝|BB1 |，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1 |，
∴∠BCB1 ＝30°，∴∠AFx＝60°。
连接A1 F，则△AA1 F为等边三角形，过F作FF1 ⊥AA1 于F1 ，则F1 为AA1 的中点。
设l交x轴于K，则|KF|＝|A1 F1 |＝|AA1 |＝|AF|，
∵$\left| AF \right|=3$，∴$P=\dfrac{3}{2}$。
∴所求抛物线方程为${{y}^{2}}=3x$。
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