高考数学必做百题第77题（理科2017版）

（2）（2016山东理13）已知双曲线：$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ $\left( a>0,b>0 \right)$，若矩形$ABCD$的四个顶点在$E$上，$AB,CD$的中点为$E$的两个焦点，且$2\left| AB \right|=3\left| BC \right|$，则$E$的离心率是_______。

解：（1）设$M({{x}_{0}},{{y}_{0}})$，由抛物线定义

得${{x}_{0}}+1=10\Rightarrow {{x}_{0}}=9$。

∴$M$到$y$轴的距离是9。

考点：抛物线的定义。

（2）假设点A在第一象限，点B在第四象限，则$A\left( c,\dfrac{{{b}^{2}}}{a} \right),B\left( c,-\dfrac{{{b}^{2}}}{a} \right)$，，

∴$\left| AB \right|=\dfrac{2{{b}^{2}}}{a}$，$\left| BC \right|=2c$，

由$2\left| AB \right|=3\left| BC \right|$得$2\times \dfrac{2{{b}^{2}}}{a}=6c$， 

又${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$，

解得离心率$e=2$或$e=-\dfrac{1}{2}$（舍去）。

∴$E$的离心率为2。

考点：双曲线的几何性质。