高考数学必做百题第76题（理科2017版）

A.$m>n且{{\text{e}}_{1}}{{e}_{2}}>1$     B.$m>n且{{\text{e}}_{1}}{{e}_{2}}<1$

C.$m<n且{{\text{e}}_{1}}{{e}_{2}}>1$      D.$m<n且{{\text{e}}_{1}}{{e}_{2}}<1$

（2）（2016天津理6）已知双曲线$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(b>0)$，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于$A,B,C,D$四点，四边形的$ABCD$的面积为$2b$，则双曲线的方程为（  ）

A. $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{y}^{2}}}{4}=1$       B. $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{4{{y}^{2}}}{3}=1$

C. $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$      D. $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1$

解：（1）由题意知${{m}^{2}}-1={{n}^{2}}+1$，即${{m}^{2}}={{n}^{2}}+2$，${{\left( {{e}_{1}}{{e}_{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}-1}{{{m}^{2}}}\centerdot \dfrac{{{n}^{2}}+1}{{{n}^{2}}}=\left( 1-\dfrac{1}{{{m}^{2}}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)$，代入${{m}^{2}}={{n}^{2}}+2$，得$m>n,({{\text{e}}_{1}}{{e}_{2}}{{}^{2}}>1$。故选A。

考点：椭圆、双曲线几何性质。

（2）根据对称性，不妨设$A\left( x,y \right)$在第一象限，

∴$\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ & y=\dfrac{b}{2}x \\ \end{align} \right.$，解得$\left\{ \begin{align}  & x=\dfrac{4}{\sqrt{{{b}^{2}}+4}} \\ & y=\dfrac{b}{2}\centerdot \dfrac{4}{\sqrt{{{b}^{2}}+4}} \\ \end{align} \right.$。

∴$\dfrac{4}{\sqrt{{{b}^{2}}+4}}\centerdot \dfrac{b}{2}\centerdot \dfrac{4}{\sqrt{{{b}^{2}}+4}}=\dfrac{8b}{{{b}^{2}}+4}=\dfrac{b}{2}$，即${{b}^{2}}\text{=}12$。

∴双曲线的方程为$\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1$。故选D。

考点：圆，双曲线渐近线。