高考数学必做百题第72题（理科2017版）

（1）直角顶点$C$的轨迹方程；

（2）直角边$BC$中点$M$的轨迹方程。

解：（1）解法1：:设顶点$C\left( x,y \right)$，

∵直角三角形$ABC$的斜边为$AB$，

∴$AC\bot BC$，且$A,B,C$三点不共线，

∴$x\ne 3,\ x\ne -1$。

又∵${{k}_{AC}}=\dfrac{y}{x+1}$，${{k}_{BC}}=\dfrac{y}{x-3}$，且${{k}_{AC}}\cdot {{k}_{BC}}=-1$，

∴$\dfrac{y}{x+1}\cdot \dfrac{y}{x-3}=-1$，即${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-3=0$。

∴直角顶点$C$的轨迹方程为

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-3=0 (x\ne 3,\ x\ne -1)$。

解法2：设$AB$中点为$D$，由中点坐标公式得$D\left( 1,0 \right)$，

∵直角三角形$ABC$的斜边为$AB$，

∴$\left| CD \right|=\dfrac{1}{2}\left| AB \right|=2$，

由圆的定义知，动点$C$的轨迹是以$D\left( 1,0 \right)$为圆心，2为半径长的圆(由于$A,B,C$三点不共线，应除去与$x$轴的交点)。

∴直角顶点$C$的轨迹方程为（应用圆的定义法）

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 (x\ne 3,\ x\ne -1)$。

（2）设点$M\left( x,y \right)$，点$C\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$，

∵$M$是线段$BC$的中点，且$B\left( 3,0 \right)$，

∴由中点坐标公式得$\left\{ \begin{matrix}   x=\dfrac{{{x}_{0}}+3}{2}  \\   y=\dfrac{{{y}_{0}}+0}{2}  \\\end{matrix} \right. (x\ne 3,\ x\ne -1)$

于是$\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{0}}=2x-3  \\   {{y}_{0}}=2y\quad \   \\\end{matrix} \right.$。

∵点$C\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$在圆${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 (x\ne 3,\ x\ne -1)$上，

∴${{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+y_{0}^{2}=4$，

将${{x}_{0}},{{y}_{0}}$代入得 ${{\left( 2x-4 \right)}^{2}}+\left( 2y \right)_{{}}^{2}=4$，

即${{\left( x-2 \right)}^{2}}+y_{{}}^{2}=1 (x\ne 3,\ x\ne -1)$。

∴动点$M$的轨迹方程为（代入法求轨迹方程）