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高考数学必做百题第63题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第65题（理科2017版）
064.（1）（2016新课标Ⅰ理11）平面$\alpha $过正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 的顶点A，$\alpha $//平面CB1 D1 ，$\alpha \bigcap $平面ABCD=m，$\alpha \bigcap $平面AB B1 A1 =n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D.$\dfrac{1}{3}$
（2）如图，正方体$A{{C}_{1}}$的棱长为1，过点A作平面${{A}_{1}}BD$的垂线，垂足为点$H$。
有下列四个命题：
①点$H$是$\vartriangle {{A}_{1}}BD$的垂心；
②$AH$垂直平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$；
③二面角$C-{{B}_{1}}{{D}_{1}}-{{C}_{1}}$的正切值为$\sqrt{2}$；
④点$H$到平面${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的距离为$\dfrac{3}{4}$。
则真命题是________。（写出所有真命题的代号）
解：（1）
如图，设平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$$\bigcap $平面$ABCD$=$m'$，平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$$\bigcap $平面$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$=$n'$，
∵$\alpha //$平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$，
∴$m//m',n//n'$，
则$m,n$所成的角等于$m',n'$所成的角。
延长$AD$，过${{D}_{1}}$作${{D}_{1}}E//{{B}_{1}}C$，连接$CE,{{B}_{1}}{{D}_{1}}$，则$CE$为$m'$，同理${{B}_{1}}{{F}_{1}}$为$n'$，
而$BD//CE,\ {{B}_{1}}{{F}_{1}}//{{A}_{1}}B$，
则$m',n'$所成的角即为${{A}_{1}}B,BD$所成的角。
∵$\Delta {{A}_{1}}BD$是等边三角形，$\angle {{A}_{1}}BD\text{=}{{60}^{\circ }}$。
∴$m,n$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。故选A。
考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角。
（2）①真命题。∵三棱锥A—${{A}_{1}}BD$是正三棱锥
∴顶点A在底面的射映是底面中心；
②真命题。∵平面${{A}_{1}}BD$∥平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$，而AH垂直平面${{A}_{1}}BD$，
∴AH垂直平面$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$；
③真命题。连接${{A}_{1}}{{C}_{1}}$，设${{A}_{1}}{{C}_{1}}\bigcap {{B}_{1}}{{D}_{1}}=O$，则$\angle CO{{C}_{1}}$为二面角$C-{{B}_{1}}{{D}_{1}}-{{C}_{1}}$的平面角。
∴$\tan \alpha =\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$；
④假命题。
对于D，连接$A{{C}_{1}}$，
则$A{{C}_{1}}\bot $面${{A}_{1}}BD$，
∴点$H$是$A{{C}_{1}}$的三等分点，于是点$H$到平面${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$的距离为$\dfrac{2}{3}\times A{{A}_{1}}=\dfrac{2}{3}$，而不是$\dfrac{3}{4}$。
∴真命题是① ② ③。
考点：正棱锥的性质，线面垂直的判定与性质定理，二面角及其平面角，点面距离。
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