高考数学必做百题第64题（理科2017版）

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064.（1）（2016新课标Ⅰ理11）平面 $\alpha$ 过正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 的顶点A， $\alpha$ //平面CB1 D1 ， $\alpha \bigcap$ 平面ABCD=m， $\alpha \bigcap$ 平面AB B1 A1 =n，则m、n所成角的正弦值为（）

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B.

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C.

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D.

$\dfrac{1}{3}$

（2）如图，正方体

$A{{C}_{1}}$ 的棱长为1，过点A作平面

${{A}_{1}}BD$ 的垂线，垂足为点

$H$ 。

有下列四个命题：

①点

$H$ 是

$\vartriangle {{A}_{1}}BD$ 的垂心；

②

$AH$ 垂直平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$ ；

③二面角

$C-{{B}_{1}}{{D}_{1}}-{{C}_{1}}$ 的正切值为

$\sqrt{2}$ ；

④点

$H$ 到平面

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ 的距离为

$\dfrac{3}{4}$ 。

则真命题是________。（写出所有真命题的代号）

解：（1）

如图，设平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$

$\bigcap$ 平面

$ABCD$ =

$m'$ ，平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$

$\bigcap$ 平面

$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$ =

$n'$ ，

∵

$\alpha //$ 平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$ ，

∴

$m//m',n//n'$ ，

则

$m,n$ 所成的角等于

$m',n'$ 所成的角。

延长

$AD$ ，过

${{D}_{1}}$ 作

${{D}_{1}}E//{{B}_{1}}C$ ，连接

$CE,{{B}_{1}}{{D}_{1}}$ ，则

$CE$ 为

$m'$ ，同理

${{B}_{1}}{{F}_{1}}$ 为

$n'$ ，

而

$BD//CE,\ {{B}_{1}}{{F}_{1}}//{{A}_{1}}B$ ，

则

$m',n'$ 所成的角即为

${{A}_{1}}B,BD$ 所成的角。

∵

$\Delta {{A}_{1}}BD$ 是等边三角形，

$\angle {{A}_{1}}BD\text{=}{{60}^{\circ }}$ 。

∴

$m,n$ 所成角的正弦值为

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 。故选A。

考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角。

（2）①真命题。∵三棱锥A—

${{A}_{1}}BD$ 是正三棱锥

∴顶点A在底面的射映是底面中心；

②真命题。∵平面

${{A}_{1}}BD$ ∥平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$ ，而AH垂直平面

${{A}_{1}}BD$ ，

∴AH垂直平面

$C{{B}_{1}}{{D}_{1}}$ ；

③真命题。连接

${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ ，设

${{A}_{1}}{{C}_{1}}\bigcap {{B}_{1}}{{D}_{1}}=O$ ，则

$\angle CO{{C}_{1}}$ 为二面角

$C-{{B}_{1}}{{D}_{1}}-{{C}_{1}}$ 的平面角。

∴

$\tan \alpha =\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$ ；

④假命题。

对于D，连接

$A{{C}_{1}}$ ，

则

$A{{C}_{1}}\bot$ 面

${{A}_{1}}BD$ ，

∴点

$H$ 是

$A{{C}_{1}}$ 的三等分点，于是点

$H$ 到平面

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ 的距离为

$\dfrac{2}{3}\times A{{A}_{1}}=\dfrac{2}{3}$ ，而不是

$\dfrac{3}{4}$ 。

∴真命题是① ② ③。

考点：正棱锥的性质，线面垂直的判定与性质定理，二面角及其平面角，点面距离。

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