高考数学必做百题第65题（理科2017版）

(Ⅰ) 证明$EF//$平面${{A}_{1}}CD$； 

(Ⅱ) 证明平面${{A}_{1}}CD\bot$平面${{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$；

(Ⅲ) 求直线$BC$与平面${{A}_{1}}CD$所成角的正弦值. 

(Ⅰ)证明：连接${{A}_{1}}D,DE$，

∵$D,E,F$分别为棱$AB,BC,{{A}_{1}}{{C}_{1}}$的中点，

∴$DE//AC,DE=\dfrac{1}{2}AC$，

又$A_{1}^{{}}F=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{C}_{1}}//AC$，

${{A}_{1}}{{C}_{1}}=AC$，

∴$A_{1}^{{}}F//DE,A_{1}^{{}}F=DE$。

∴$A_{1}^{{}}DEF$是平行四边形，于是$EF//A_{1}^{{}}D$，

又$A_{1}^{{}}D\subset {{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$，（转化为证明线线平行）

∴$EF//$平面${{A}_{1}}CD$。

(Ⅱ)证明：∵$A{{A}_{1}}\bot$底面$ABC$，$CD\subset ABC$，

∴$A{{A}_{1}}\bot CD$。

∵三棱柱$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$各棱长均相等，

∴$AC\text{=}BC$，又$D$为棱$AB$的中点，

∴$CD\bot AB$，又${{A}_{1}}A\bigcap AB\text{=}A$，

∴$CD\bot {{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$，（转化为证明线面垂直）

又$CD\subset {{A}_{1}}CD$，

∴平面${{A}_{1}}CD\bot$平面${{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$。

(Ⅲ)解：如图，设直线$BC$与平面${{A}_{1}}CD$所成角为$\alpha$，B到平面${{A}_{1}}CD$的距离为$h$，

则$\sin \alpha =\dfrac{h}{BC}$。（转化为求点面距离）

∵${{V}_{B-C{{A}_{1}}D}}={{V}_{C-{{A}_{1}}BD}}$，${{S}_{C{{A}_{1}}D}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8},{{S}_{{{A}_{1}}BD}}=\dfrac{1}{4}$，

∴$\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{15}}{8}\times h=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，解得$h=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，

于是$\sin \alpha =\dfrac{h}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，

∴直线$BC$与平面${{A}_{1}}CD$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

另解：（一般不用此法！）

过点$B$作$BH\bot {{A}_{1}}D$交${{A}_{1}}D$的延长线于$H$点，连接$CH$，

∵$CD\bot {{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$，又$BH\subset {{A}_{1}}AB{{B}_{1}}$，

∴$CD\bot BH$，又${{A}_{1}}D\bigcap CD\text{=}D$，

∴$BH\bot$平面${{A}_{1}}CD$，（转化为寻求线面垂直）

∴$\angle BCH$是直线$BC$与平面${{A}_{1}}CD$所成角。

如图，设棱长${{A}_{1}}A=1$，则$BC\text{=}1$，$AD\text{=}BD\text{=}\dfrac{1}{2}$，

${{A}_{1}}D=\sqrt{{{A}_{1}}{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。

∵$\Delta {{A}_{1}}AD\sim \Delta BHD$，∴$\dfrac{BH}{{{A}_{1}}A}=\dfrac{BD}{{{A}_{1}}D}$,

即$\dfrac{BH}{1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$，$BH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\text{=}\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

在$Rt\Delta CHB$中，$\sin \angle CBH=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BH}{1}=BH=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

∴直线$BC$与平面${{A}_{1}}CD$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

（两种方法比较，显然前者方法简单，后者方法有一定的难度）