高考数学必做百题第60题（理科2017版）

（1）求线性回归方程；

（2）判断变量$x$与$y$之间是正相关还是负相关；

（3）根据线性回归方程估计当房屋面积为$150$ m2 时的销售价格（精确到万元）。

（参考：$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{2}}},\widehat{a}=\bar{y}-b\bar{x}$）

解：（1）$\overline{x}=\dfrac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^{5}{{{x}_{i}}=\dfrac{545}{5}=\text{109}}$，

$\overline{y}=\dfrac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^{5}{{{y}_{i}}=\dfrac{1160}{5}=\text{232}}$，

$\sum\limits_{i=1}^{5}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=129520}$，$\sum\limits_{i=1}^{5}{{{x}_{i}}^{2}=60975}$，

设所求回归直线方程为$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$，则

$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{{x}^{2}}}}}=\dfrac{308}{1570}\approx 0.1962$，

$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}\approx 232-0.1962\times 109$

$=232-21.3858=210.6142$，

∴所求回归直线方程为$\widehat{y}=0.1962x+210.6142$。

（2）∵$\widehat{b}=0.1962>0$，表明变量$y$的值随$x$的值增加而增加，

∴$x$与$y$之间是正相关。

（3）将$x=150$代入回归方程得

$\widehat{y}=0.1962\times 150+210.6142$

$=240.0442\approx 240$万元

∴可以预测当房屋面积为$150 m^2$ 时的销售价格为$240$万元。