高考数学必做百题第48题（理科2017版）

 

 （1）用分层抽样方法在收看电视剧节目的观众中随机抽取$5$名，大于$40$岁的观众应该抽取几名？

（2）在上述抽取的$5$名观众中任取$2$名，求恰有$1$名观众的年龄为$20$至$40$岁的概率。

解：（1）应抽取大于$40$岁的观众人数$\dfrac{{27}}{{45}} \times 5 = \dfrac{3}{5} \times 5 = 3$(名)。

（2）用分层抽样方法抽取的$5$名观众中，$20$至$40$岁有$2$名，记为${{Q}_{1}},\ {{Q}_{2}}$，大于$40$岁有$3$名，记为${{A}_{1}},\ {{A}_{2}},\ {{A}_{3}}$。

∵$5$名观众中任取$2$名，共有$10$种不同取法：${{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$，${{Q}_{1}}{{A}_{1}},\ {{Q}_{1}}{{A}_{2}},\ {{Q}_{1}}{{A}_{3}}$，${{Q}_{2}}{{A}_{1}},\ {{Q}_{2}}{{A}_{2}},\ {{Q}_{2}}{{A}_{3}}$，${{A}_{1}}{{A}_{2}},\ {{A}_{1}}{{A}_{3}}$，${{A}_{2}}{{A}_{3}}$。

设$B$表示随机事件“$5$名观众中任取$2$名，恰有$1$名观众年龄为$20$至$40$岁”，则A中的基本事件有6种：${{Q}_{1}}{{A}_{1}},\ {{Q}_{1}}{{A}_{2}},\ {{Q}_{1}}{{A}_{3}}$，${{Q}_{2}}{{A}_{1}},\ {{Q}_{2}}{{A}_{2}},\ {{Q}_{2}}{{A}_{3}}$，

∴所求概率为$P\left( B \right)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。