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高考数学必做百题第45题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第47题（理科2017版）
046.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
解：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%，
∴年销售收入为(32Q+3Q×150%+xQ×50%)Q =32(32Q+3)+12x
∴年利润W=32(32Q+3)+12x−(32Q+3)−x
=12(32Q+3−x)=−x2+98x+352(x+1)(x≥0)。
(2)令x+1=t(t≥1)，则x=t−1，
∴W=50−(t2+32t)(t≥1)。
∵t≥1，∴t2+32t≥2√t2⋅32t=8，
∴W≤50−8=42，
当且仅当t2=32t，即t=8时，W有最大值42，此时x=7.
∴当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元。
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