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高考数学必做百题第45题(理科2017版)

 045.制订生产计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某工厂打算生产甲、乙两种产品,根据预测,甲、乙产品可能的最大盈利率分别为100%50%,可能的最大亏损率分别为30%10%。若工厂计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问该工厂对甲、乙两种产品各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

解:设工厂计划分别用x万元,y万元投资甲、乙两种产品,由题意知
{x+y100.3x+0.1y1.8x0y0 
目标函数z=x+0.5y
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域。
W045.png
z=x+0.5y变形为y=2x+2z,这是斜率为2z变化的一组平行线,当直线y=2x+2z经过可行域内的点M时,直线y=2x+2z在y轴上的截距2z最大,则z也最大。
M点是直线x+y=100.3x+0.1y=1.8的交点,
∴由方程组{x+y=100.3x+0.1y=1.8解得{x=4y=6
此时z=4+0.5×6=7 (万元),
∴当{x=4y=6时,z取得最大值。
∴工厂用4万元投资甲产品、6万元投资乙产品,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大。
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