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高考数学必做百题第44题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第46题（理科2017版）
045.制订生产计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某工厂打算生产甲、乙两种产品，根据预测，甲、乙产品可能的最大盈利率分别为$100 \%$和$50 \%$，可能的最大亏损率分别为$30 \%$和$10\%$。若工厂计划投资金额不超过$10$万元，要求确保可能的资金亏损不超过$1.8$万元，问该工厂对甲、乙两种产品各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设工厂计划分别用$x$万元，$y$万元投资甲、乙两种产品，由题意知
$\left\{ \begin{align} & x+y\le 10 \\ & 0.3x+0.1y\le 1.8 \\ & x\ge 0 \\ & y\ge 0 \\ \end{align} \right.$
目标函数$z=x+0.5y$ 。
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域。
将$z=x+0.5y$变形为$y=-2x+2z$，这是斜率为$-2$随$z$变化的一组平行线，当直线$y=-2x+2z$经过可行域内的点M时，直线$y=-2x+2z$在y轴上的截距$2z$最大，则$z$也最大。
∵$M$点是直线$x+y=10$ 和$0.3x+0.1y\text{=}1.8$的交点，
∴由方程组$\left\{ \begin{align} & x+y=10 \\ & 0.3x+0.1y=1.8 \\ \end{align} \right.$解得$\left\{ \begin{align} & x=4 \\ & y=6 \\ \end{align} \right.$，
此时$z=4+0.5\times 6=7$ (万元)，
∴当$\left\{ \begin{align} & x=4 \\ & y=6 \\ \end{align} \right.$时，$z$取得最大值。
∴工厂用$4$万元投资甲产品、$6$万元投资乙产品，才能在确保亏损不超过$1.8$万元的前提下，使可能的盈利最大。
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