高考数学必做百题第44题（理科2017版）

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 044.（1）已知关于x的不等式$ax^2 ＋2x＋c>0$的解集为$\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2} \right)$，则不等式$-cx^2 ＋2x-a>0$的解集为________；

（2）已知$f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-mx-1$，若对于x∈[1,3]，$f\left( x \right)<5-m$恒成立，则实数m的取值范围是_________。

解：（1）∵$ax^2 ＋2x＋c>0$的解集为$\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2} \right)$，

∴$a<0$，且$-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}$为方程$ax^2 ＋2x＋c＝0$的两个根，

∴$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{a},-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{a}$，解得$\left\{ \begin{align}  & a=-12 \\ & c=2 \\ \end{align} \right.$，

∴不等式$-cx^2 ＋2x-a>0$，即$2x^2 -2x-12<0$，那么其解集为$\left( -2,3 \right)$。

考点：二次不等式的解集，待定系数法。

（2）解法1：　∵$f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-mx-1$，

要使$f\left( x \right)<5-m$在$[1,3]$上恒成立，即$m{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}m-6<0$在$x∈[1,3]$上恒成立。

令$g(x)=m{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}m-6<0，x∈[1,3]$．

①当$m>0$ 时，$g(x)$在$[1,3]$上是增函数，

∴$g(x)_{max} ＝g(3)$，即$7m-6＜0$，得$m<\dfrac{6}{7}$，

∴$0<m<\dfrac{6}{7}$；

②当$m=0$时，$-6＜0$恒成立；

③当$m<0$时，$g(x)$在$[1,3]$上是减函数，

∴$g(x)_{max} ＝g(1)$，即$m-6＜0$，得$m＜6$，

∴$m＜0$。

综上所述，实数m的取值范围是$\left\{ m|m<\dfrac{6}{7} \right\}$。

解法2：∵$f(x)＜-m＋5⇔m(x2 -x＋1)＜6$，

∵$x^2 -x＋1＞0$，∴$m<\dfrac{6}{{{x}^{2}}-x+1}$对于$x∈[1,3]$恒成立，

只需求$\dfrac{6}{{{x}^{2}}-x+1}$在[1,3]上的最小值，即求$x^2 -x＋1$在$[1,3]$上的最大值。

记$g(x)＝x^2 -x＋1＝{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\text{+}\dfrac{3}{4}$则$g(x)$在$x∈[1,3]$上为增函数。

∴$[g(x)]_{max} ＝g(3)＝\dfrac{6}{7}$，∴$m<\dfrac{6}{7}$。

∴实数的取值范围是$\left( -\infty ,\dfrac{6}{7} \right)$。

考点：二次函数图像与性质，解不等式。

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