037.（1）（2016天津理5）设$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是首项为正数的等比数列，公比为$q$，则“$q<0$”是“对任意的正整数$n，a_{2 n − 1 }+a_{2 n} <0$”的（ ）
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
（2）（2016北京理12）已知$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$为等差数列，${{S}_{n}}$为其前$n$项和，若${{a}_{1}}=6,{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=0$，则${{S}_{6}}\text{=}$_______.
（3）已知数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的前n项和为${{S}_{n}}$，${{a}_{1}}=1,{{S}_{n}}=2{{a}_{n+1}}$，则${{S}_{n}}$＝_________。
解：（1）∵${{a}_{2n-1}}+{{a}_{2n}}<0\Leftrightarrow {{a}_{1}}({{q}^{2n-2}}+{{q}^{2n-1}})<0$
$\Leftrightarrow {{q}^{2(n-1)}}(q+1)<0\Leftrightarrow q\in (-\infty ,-1)$，
∴$q<0$是必要不充分条件。故选C。
考点：等比数列通项公式，命题间逻辑关系。
（2）∵$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是等差数列，
∴${{a}_{3}}+{{a}_{5}}=2{{a}_{4}}=0$，${{a}_{4}}=0$，
∴${{a}_{4}}-{{a}_{1}}=3d=-6,d=-2$.
∴${{S}_{6}}=6{{a}_{1}}+15d=6\times 6+15\times (-2)=6$,故填6。
考点：等差数列通项公式，前$n$项和公式。
（3）∵${{S}_{n}}=2{{a}_{n+1}}$，∴当$n\ge 2$时，${{S}_{n-1}}=2{{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=2{{a}_{n+1}}-2{{a}_{n}}(n\ge 2)$，
即$\dfrac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\dfrac{3}{2}(n\ge 2)$。
又∵${{a}_{2}}=\dfrac{1}{2}$，∴${{a}_{n}}=\dfrac{1}{2}\times {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-2}}(n\ge 2)$。
当n＝1时，${{a}_{1}}=1\ne \dfrac{1}{2}\times {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{1-2}}$.
∴${{a}_{n}}= \begin{cases} 1,&(n=1) \\ \dfrac{1}{2}\times {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-2}},&(n\ge 2) \end{cases} $
∴${{S}_{n}}=2{{a}_{n+1}}\text{=}{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}$。
考点：${{a}_{n}}$与${{S}_{n}}$关系公式，底边数列定义与通项公式。
