高考数学必做百题第38题（理科2017版）

038.已知数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是公差为2的等差数列，它的前$n$项和为${{S}_{n}}$，且${{a}_{1}}\text{+}1,{{a}_{3}}\text{+}1,{{a}_{7}}\text{+}1$成等比数列。

（1）求$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式；

（2）求数列$\left\{ \dfrac{1}{{{S}_{n}}} \right\}$的前$n$项和${{T}_{n}}$；

（3）若${{b}_{n}}={{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$，求数列$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$的前$n$项和${{W}_{n}}$。

解：（1）∵数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是公差为2的等差数列，

则设${{a}_{n}}\text{=}{{a}_{1}}\text{+}2(n-1)$。

∵${{a}_{1}}\text{+}1,{{a}_{3}}\text{+}1,{{a}_{7}}\text{+}1$成等比数列，

∴${{\left( {{a}_{3}}\text{+}1 \right)}^{2}}\text{=}\left( {{a}_{1}}\text{+}1 \right)\left( {{a}_{7}}\text{+}1 \right)$，

即${{\left( {{a}_{1}}\text{+}5 \right)}^{2}}\text{=}\left( {{a}_{1}}\text{+}1 \right)\left( {{a}_{1}}\text{+}13 \right)$，解得${{a}_{1}}=3$，

∴${{a}_{n}}={{a}_{1}}\text{+}2(n-1)=2n+1$。

（2）∵${{a}_{n}}=2n+1$，

∴${{S}_{n}}\text{=}\dfrac{n({{a}_{1}}+{{a}_{n}})}{2}=n(n+2)$，

∵$\dfrac{1}{{{S}_{n}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right)$，

∴${{T}_{n}}=\dfrac{1}{{{S}_{1}}}+\dfrac{1}{{{S}_{2}}}+\dfrac{1}{{{S}_{3}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{S}_{n}}}$

$=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{3}\text{+}\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\cdots +\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right)$

$=\dfrac{1}{2}\left( 1\text{+}\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n\text{+}1}-\dfrac{1}{n+2} \right)$

$=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$。

（3）∵${{a}_{n}}=2n+1$，

∴${{b}_{n}}={{3}^{n-1}}{{a}_{n}}=(2n+1){{3}^{n-1}}$。

∴${{W}_{n}}=3+5\cdot 3+7\cdot {{3}^{2}}+\cdots +(2n-1){{3}^{n-2}}+(2n+1){{3}^{n-1}}$，

又$3{{W}_{n}}=3\cdot 3+5\cdot {{3}^{2}}+7\cdot {{3}^{3}}+\cdots +(2n-1){{3}^{n-1}}+(2n+1){{3}^{n}}$

两式相减得

$-2{{W}_{n}}=3+2\cdot 3+2\cdot {{3}^{2}}+\cdots +2\cdot {{3}^{n-1}}-(2n+1){{3}^{n}}$

$=3+2\cdot \left( 3+{{3}^{2}}+\cdots +{{3}^{n-1}} \right)-(2n+1){{3}^{n}}$

$=3+2\times \dfrac{3\left( 1-{{3}^{n-1}} \right)}{1-3}-(2n+1){{3}^{n}}=-2n\cdot {{3}^{n}}$，

∴${{W}_{n}}=n{{3}^{n}}$。

∴数列$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$的前$n$项和${{W}_{n}}=n{{3}^{n}}$。