高考数学必做百题第36题（理科2017版）

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036.如图所示,在山顶铁塔上$B$处测得地面上一点$A$的俯角为$\alpha$，在塔底$C$处测得$A$处的俯角为$\beta$.已知铁塔$BC$部分的高为$h$，求山高$CD$.

解：在$\vartriangle ABC$中，

$∠BCA＝90°＋\beta$，

$∠ABC＝90°－\alpha$，

$∠BAC＝\alpha－\beta，∠CAD＝\beta$.

由正弦定理得：

$\dfrac{AC}{\sin \angle ABC}=\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}$，

即$\dfrac{AC}{\sin (90{}^\circ -\alpha )}=\dfrac{BC}{\sin (\alpha -\beta )}$，

∴$AC=\dfrac{BC\cos \alpha }{\sin (\alpha -\beta )}=\dfrac{h\cos \alpha }{\sin (\alpha -\beta )}$.

在$Rt\vartriangle ACD$中，

$CD=AC\sin \angle CAD=AC\sin \beta =\dfrac{h\cos \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha -\beta )}$.

∴所求山高$CD$为$\dfrac{h\cos \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha -\beta )}$.

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