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高考数学必做百题第27题(理科2017版)

027.已知函数f(x)=23sinxcosx+2sin2x1(xR)

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[π6,π12]上的值域。

解:(1))∵f(x)=23sinxcosx+2sin2x1(xR)

=3sin2xcos2x=2sin(2xπ6)

∴函数f(x)的最小正周期为T=π

π2+2kπ2xπ6π2+2kπ(kZ)

π6+kπxπ3+kπ(kZ)

f(x)的单调递增区间为[π6+kππ3+kπ](kZ)

(2)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,得到y=2sin(4xπ6)

再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到g(x)=2sin[4(x+π6)π6]

=2sin(4x+π2)=2cos4x

x[π6,π12]时,4x[2π3,π3]

∴当x=0时,g(x)max=2

x=π6时,g(x)min=1

y=g(x)在区间[π6,π12]上的值域为[1,2]

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