高考数学必做百题第27题（理科2017版）

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027.已知函数$f\left( x \right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\sin }^{2}}x-1\left( x\in R \right)$。

（1）求函数$f\left( x \right)$的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数$y=f\left( x \right)$的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{2}$，再把所得到的图象向左平移$\dfrac{\pi }{6}$个单位长度，得到函数$y=g\left( x \right)$的图象，求函数$y=g\left( x \right)$在区间$\left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$上的值域。

解：（1）)∵$f\left( x \right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\sin }^{2}}x-1\left( x\in R \right)$

$=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$$=2\sin \left( 2x-\dfrac{\pi }{6} \right)$，

∴函数$f\left( x \right)$的最小正周期为$T=\pi $。

∵$-\dfrac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\dfrac{\pi }{6}\le \dfrac{\pi }{2}+2k\pi \left( k\in Z \right)$，

∴$-\dfrac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \dfrac{\pi }{3}+k\pi \left( k\in Z \right)$，

∴$f\left( x \right)$的单调递增区间为$\left[ -\dfrac{\pi }{6}+k\pi \dfrac{\pi }{3}+k\pi  \right]\left( k\in Z \right)$。

（2）函数$y=f\left( x \right)$的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{2}$，得到$y=2\sin \left( 4x-\dfrac{\pi }{6} \right)$；

再把所得到的图象向左平移$\dfrac{\pi }{6}$个单位长度，得到$g\left( x \right)=2\sin \left[ 4\left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)-\dfrac{\pi }{6} \right]$

$=2\sin \left( 4x+\dfrac{\pi }{2} \right)=2\cos 4x$，

当$x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$时，$4x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3},\dfrac{\pi }{3} \right]$，

∴当$x=0$时，$g{{\left( x \right)}_{\max }}=2$，

当$x=-\dfrac{\pi }{6}$时，$g{{\left( x \right)}_{\min }}=-1$。

∴$y=g\left( x \right)$在区间$\left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$上的值域为$\left[ -1,2 \right]$。

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