高考数学必做百题第26题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第28题(理科2017版)
027.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2sin2x−1(x∈R)。
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[−π6,π12]上的值域。
解:(1))∵f(x)=2√3sinxcosx+2sin2x−1(x∈R)
=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6),
∴函数f(x)的最小正周期为T=π。
∵−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z),
∴−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为[−π6+kππ3+kπ](k∈Z)。
(2)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,得到y=2sin(4x−π6);
再把所得到的图象向左平移π6个单位长度,得到g(x)=2sin[4(x+π6)−π6]
=2sin(4x+π2)=2cos4x,
当x∈[−π6,π12]时,4x∈[−2π3,π3],
∴当x=0时,g(x)max=2,
当x=−π6时,g(x)min=−1。
∴y=g(x)在区间[−π6,π12]上的值域为[−1,2]。
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