高考数学必做百题第28题（理科2017版）

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028.已知函数$f\left( x \right)=\tan (\pi x-\dfrac{3\pi }{4})$。

（1）求函数$f\left( x \right)$的定义域、周期和单调区间；

（2）求函数$f\left( x \right)$在$\left[ \dfrac{3}{2},2 \right]$上的最值。

解：（1）①由$\pi x-\dfrac{3\pi }{4}\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$，

解得$x\ne \dfrac{5}{4}+k,\ k\in Z$。

∴ 函数$f\left( x \right)$的定义域为$\{x|x\ne \dfrac{5}{4}+k,k\in Z\}$。

②$f\left( x \right)$是周期函数，周期为$T=\dfrac{\pi }{\pi }=1$。

③由$-\dfrac{\pi }{2}+k\pi <\pi x-\dfrac{3\pi }{4}<\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$，

解得$\dfrac{1}{4}+k<x<\dfrac{5}{4}+k,k\in Z$。

∴函数的单调递增区间为$(\dfrac{1}{4}+k,\dfrac{5}{4}+k),k\in Z$。

（2）令$k=1$，则$\left( \dfrac{5}{4},\dfrac{9}{4} \right)$是函数$f\left( x \right)$的单调递增区间，

∵$\left[ \dfrac{3}{2},2 \right]\subseteq \left( \dfrac{5}{4},\dfrac{9}{4} \right)$，

∴函数$f\left( x \right)$在区间$\left[ \dfrac{3}{2},2 \right]$上单调递增，

∴$f{{\left( x \right)}_{\min }}=f\left( \dfrac{3}{2} \right)=\tan \left( \dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{3\pi }{4} \right)=\tan \dfrac{3\pi }{4}=-1$，

$f{{\left( x \right)}_{\max }}=f\left( 2 \right)=\tan \left( 2\pi -\dfrac{3\pi }{4} \right)=\tan \dfrac{5\pi }{4}=1$。

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