高考数学必做百题第26题（理科2017版）

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考点：三角函数的性质。

026. 已知函数$y=\text{3}\sin \left( \omega x+\dfrac{\pi }{3} \right)$(ω＞0)的图象与$y=-3$的图象的相邻两交点间的距离为$\pi $，

（1）求函数$y=f\left( x \right)$的解析式；

（2）画函数简图，写出函数的单调区间；

（3）说明此函数图象怎样由$y=\sin x$变换而来。

解：（1）∵函数$y=f\left( x \right)$的图象与$y=-3$的图象的相邻两交点间的距离为$\pi $，

∴$T=\pi =\dfrac{2\pi }{\omega }$，解得$\omega =2$。

∴函数解析式为$y=\text{3}\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right)$。

（2）由五点法，列表：

描点画图，如下：

∵函数的周期$T=\pi $，

∴函数递增区间是$\left[ k\pi -\dfrac{5\pi }{12},k\pi +\dfrac{\pi }{12} \right]\left( k\in Z \right)$，

函数递减区间是$\left[ k\pi +\dfrac{\pi }{12},k\pi +\dfrac{7\pi }{12} \right]\left( k\in Z \right)$。

（2）这种曲线可以由函数$y=\sin x$的图象经过如下变换得到，即：

①$y=\sin x\xrightarrow[{}]{左移\dfrac{\pi }{3}个单位}y=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)$

$\xrightarrow[横坐标变为\cfrac{1}{2}倍]{纵坐标不变}y=\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $ 

$\xrightarrow[横坐标不变]{纵坐标变为3倍}y=3\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $

②或$y=\sin x\xrightarrow[横坐标变为\cfrac{1}{2}倍]{纵坐标不变}y=\sin 2x$

$\xrightarrow[{}]{左移\dfrac{\pi }{6}个单位}y=\sin 2\left( x+\dfrac{\pi }{6} \right) $

$\xrightarrow[横坐标不变]{纵坐标变为3倍}y=3\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{3} \right) $

（注意：上述变换可以“先移后缩”，也可以“先缩后移”，注意两者的区别）

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