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高考数学必做百题第23题(理科2017版)

三角函数定义、图像和性质

023.已知一扇形的圆心角为$\alpha $$\left( \alpha >0 \right)$,所在圆的半径为$R$。

(1)若$\alpha ={{60}^{\circ }}$,$R=10cm$,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是一定值$C\left( C>0 \right)$,当$\alpha $为多少弧度时,该扇形有最大面积?

解:(1)设弧长为$l$,弓形面积为${{S}_{弓形}}$,则

$\alpha ={{60}^{\circ }}=\dfrac{\pi }{3}$,$R=10$,

∴$l=\dfrac{\pi }{3}\times 10=\dfrac{10\pi }{3}$ (cm),

${{S}_{弓形}}={{S}_{扇形}}-{{S}_{\Delta }}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{10\pi }{3}\times 10-\dfrac{1}{2}\times {{10}^{2}}\sin \dfrac{\pi }{3}$

$=\dfrac{50\pi }{3}-\dfrac{50\sqrt{3}}{2}=50\left( \dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left( c{{m}^{2}} \right)$。

(2)解法1:∵扇形周长$C=2R+l=2R+\alpha R$,∴$R=\dfrac{C}{2+\alpha }$,

∴${{S}_{}}=\dfrac{1}{2}\alpha {{R}^{2}}=\dfrac{1}{2}\alpha {{\left( \dfrac{C}{2+\alpha } \right)}^{2}}$

$=\dfrac{{{C}^{2}}}{2}\alpha \cdot \dfrac{1}{4+4\alpha +{{\alpha }^{2}}}=\dfrac{{{C}^{2}}}{2}\cdot \dfrac{1}{4+\alpha +\dfrac{4}{\alpha }}\le \dfrac{{{C}^{2}}}{16}$,

当且仅当$\alpha =\dfrac{4}{\alpha }$,即$\alpha =2rad$时,扇形面积最大,最大值为$\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$。

解法2:∵扇形周长$C=2R+l$,

∴${{S}_{}}=\dfrac{1}{2}lR=\dfrac{1}{2}\left( C-2R \right)R=\dfrac{1}{2}\left( -2{{R}^{2}}+CR \right)$

$=-{{\left( R-\dfrac{C}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$,

∴当且仅当$R=\dfrac{C}{4}$,$l=2R$,$\alpha =2rad$时,这个扇形的面积最大,最大值为$\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$。

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