高考数学必做百题第23题（理科2017版）

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三角函数定义、图像和性质

023.已知一扇形的圆心角为$\alpha$$\left( \alpha >0 \right)$，所在圆的半径为$R$。

（1）若$\alpha ={{60}^{\circ }}$，$R=10cm$，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值$C\left( C>0 \right)$，当$\alpha$为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解：（1）设弧长为$l$，弓形面积为${{S}_{弓形}}$，则

$\alpha ={{60}^{\circ }}=\dfrac{\pi }{3}$，$R=10$，

∴$l=\dfrac{\pi }{3}\times 10=\dfrac{10\pi }{3}$ (cm)，

${{S}_{弓形}}={{S}_{扇形}}-{{S}_{\Delta }}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{10\pi }{3}\times 10-\dfrac{1}{2}\times {{10}^{2}}\sin \dfrac{\pi }{3}$

$=\dfrac{50\pi }{3}-\dfrac{50\sqrt{3}}{2}=50\left( \dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left( c{{m}^{2}} \right)$。

（2）解法1：∵扇形周长$C=2R+l=2R+\alpha R$，∴$R=\dfrac{C}{2+\alpha }$，

∴${{S}_{}}=\dfrac{1}{2}\alpha {{R}^{2}}=\dfrac{1}{2}\alpha {{\left( \dfrac{C}{2+\alpha } \right)}^{2}}$

$=\dfrac{{{C}^{2}}}{2}\alpha \cdot \dfrac{1}{4+4\alpha +{{\alpha }^{2}}}=\dfrac{{{C}^{2}}}{2}\cdot \dfrac{1}{4+\alpha +\dfrac{4}{\alpha }}\le \dfrac{{{C}^{2}}}{16}$，

当且仅当$\alpha =\dfrac{4}{\alpha }$，即$\alpha =2rad$时，扇形面积最大，最大值为$\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$。

解法2：∵扇形周长$C=2R+l$，

∴${{S}_{}}=\dfrac{1}{2}lR=\dfrac{1}{2}\left( C-2R \right)R=\dfrac{1}{2}\left( -2{{R}^{2}}+CR \right)$

$=-{{\left( R-\dfrac{C}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$,

∴当且仅当$R=\dfrac{C}{4}$，$l=2R$，$\alpha =2rad$时，这个扇形的面积最大，最大值为$\dfrac{{{C}^{2}}}{16}$。

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