高考数学必做百题第22题（理科2017版）

解：①当$0<t\le \frac{1}{2}$时，

如图，设直线$x=t$与梯形分别交于$E$、$F$两点，

则$\left| OF \right|=t$，

又$\frac{\left| EF \right|}{\left| OF \right|}=\tan {{60}^{\circ }}=\sqrt{3}$，

∴$\left| EF \right|=\sqrt{3}t$，

∴$f\left( t \right)=\frac{1}{2}\left| OF \right|\cdot \left| EF \right|$ 

$=\frac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{3}t=\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}$。

②当$\frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}$时，

如图，设直线$x=t$与梯形分别交于$D$、$H$两点，

则$\left| OH \right|=t$，

∵$\left| OC' \right|=\frac{1}{2}$，

∴$\left| CD \right|=\left| C'H \right|=t-\frac{1}{2}$

∴$f\left( t \right)=\frac{1}{2}\left( t+t-\frac{1}{2} \right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{8}$。 

③当$\frac{3}{2}<t\le 2$时，

如图，设直线$x=t$与梯形分别交于$D$、$H$两点，则$\left| AN \right|=2-t$，

∵$\left| MN \right|=\left| AN \right|\tan {{60}^{\circ }}=\sqrt{3}\left( 2-t \right)$，

$f\left( t \right)={{S}_{OABC}}-{{S}_{\Delta AMN}}$

$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\cdot \left( 2-t \right)\cdot \sqrt{3}\left( 2-t \right)$

$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}{{\left( t-2 \right)}^{2}}$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{4}$。 

④当$t>2$时，$f(t)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

∴函数$f(t)$的解析式为

$f\left( t \right)= \begin{cases}   \frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}},& 0<t\le \frac{1}{2}  \\   \frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{8},& \frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}  \\   -\frac{\sqrt{3}}{2}{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{4},& \frac{3}{2}<t\le 2  \\   \frac{3\sqrt{3}}{4},& t>2  \\\end{cases}$

∴函数$y=f(t)$的大致图象为