高考数学必做百题第21题（理科2017版）

（1）若函数$f\left( x \right)$有两个不同的零点，求$b$的取值范围；

（2）若对${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$，且${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，$f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)$，方程$f\left( x \right)=\frac{1}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right) \right]$有两个不相等的实根，证明必有一实根属于$\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$。

（1）解：∵$f\left( 1 \right)=0$，

∴$b+c+1=0$，即$c=-\left( b+1 \right)$，

∴$f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx-\left( b+1 \right)$。

若$f\left( x \right)$有两个零点，则$f\left( x \right)=0$有两个不相等的实根，

∴$\Delta ={{b}^{2}}+4\left( b+1 \right)={{\left( b+2 \right)}^{2}}>0$，即$b\ne -2$。

∴$b$的取值范围是$\left\{ b|b\ne -2,b\in R \right\}$。

（2）证明：　设$g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right) \right]$，

则$g\left( {{x}_{1}} \right)=\frac{1}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right]$，

$g\left( {{x}_{2}} \right)=-\frac{1}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right]$，

∴$g\left( {{x}_{1}} \right)\cdot g\left( {{x}_{2}} \right)=-\frac{1}{4}{{\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right) \right]}^{2}}$，

∵$f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)$，∴$g\left( {{x}_{1}} \right)\cdot g\left( {{x}_{2}} \right)<0$，

∴函数$g\left( x \right)$在$\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$内必有一个零点，即方程$g\left( x \right)=0$在$\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$内必有一实根，

也就是方程$f\left( x \right)=\frac{1}{2}\left[ f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right) \right]$必有一实根属于$\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$。