高考数学必做百题第18题（理科2017版）

（1）若常数$a<2$且$a\ne 0$，求$f\left( x \right)$的定义域；

（2）若$f\left( x \right)$在区间$\left( 2,4 \right)$上是减函数，求$a$的取值范围。

解：（1）由函数$f\left( x \right)$知，$\dfrac{ax-2}{x-1}>0$，

当$0<a<2$时，解得$x<1$或$x>\frac{2}{a}$；

当$a<0$时，解得$\frac{2}{a}<x<1$。

∴当$0<a<2$时，$f\left( x \right)$的定义域为

$\left\{ x|x<1或x>\frac{2}{a} \right\}$；

当$a<0$时，$f\left( x \right)$的定义域为$\left\{ x|\frac{2}{a}<x<1 \right\}$。

（2）令$u\left( x \right)=\dfrac{ax-2}{x-1}$，

∵$f\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}u$为减函数，

∴要使$f\left( x \right)$在$\left( 2,4 \right)$上是减函数，只需$u\left( x \right)$

在$\left( 2,4 \right)$上单调递增且$u\left( x \right)>0$，

∵$u\left( x \right)=\dfrac{ax-2}{x-1}=a+\dfrac{a-2}{x-1}$，

∴当且仅当$\left\{ \begin{matrix}   a-2<0 \\   u\left( 2 \right)=\dfrac{2a-2}{2-1}\ge 0  \\\end{matrix} \right.$，

解得$1\le a<2$。

∴$a$的取值范围为$\left[ 1,2 \right)$。