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高考数学必做百题第18题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第20题（理科2017版）
019.（1）已知函数$f\left( x \right)$有三个零点，且对一切实数$x$都满足$f\left( 1+x \right)=f\left( 1-x \right)$，求三个零点的和.
（2）已知二次函数$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3mx+m$的零点分布在区间$\left( -1,0 \right),\ \left( 0,2 \right)$内，求实数$m$的取值范围.
解：（1）∵$f\left( 1+x \right)=f\left( 1-x \right)$，
∴函数$f\left( x \right)$关于直线$x=1$对称。
∵函数$f\left( x \right)$有三个零点，设为${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$，
则${{x}_{2}}=1$是函数$f\left( x \right)$的一个零点，另外2个零点${{x}_{1}},{{x}_{3}}$必关于直线$x=1$对称，
∴${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3$。
（2）∵函数$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3mx+m$的零点分布在区间$\left( -1,0 \right),\ \left( 0,2 \right)$内，
根据函数零点的存在性定理
∴$\left\{ \begin{align} & f(-1)\cdot f(0)<0 \\ & f(2)\cdot f(0)<0 \\ \end{align} \right.$，
即$\left\{ \begin{align} & (4m+2)m<0 \\ & (8-5m)m<0 \\ \end{align} \right.$，
解得$\left\{ \begin{matrix} -\frac{1}{2}<m<0 \\ m<0m>\frac{8}{5} \\\end{matrix} \right.$
∴$-\frac{1}{2}<m<0$，
∴所求$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}<m<0$。
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