高考数学必做百题第17题（理科2017版）

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017.若函数 $f(x)={{a}^{x}}(a>0,a\ne 1)$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值为4，最小值为 $m$ ，且函数 $g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty )$ 上是增函数，求实数 $a$ 与 $m$ 的值。

解：当

$a>1$ 时，则

${{a}^{2}}=4,\ \ {{a}^{-1}}=m$ ,

∴

$a=2,m=\frac{1}{2}$ ,

此时

$g(x)=-\sqrt{x}$ 为减函数,不合题意。

当

$0<a<1$ ,则

${{a}^{-1}}=4,\ \ {{a}^{2}}=m$ ,

∴

$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$ ，

此时

$g(x)=\frac{3\sqrt{x}}{4}$ ，是增函数，符合题意。

∴所求实数

$a$ 与

$m$ 的值为

$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$ 。

另解：∵函数

$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$ 在

$[0,+\infty )$ 上是增函数，

∴

$1-4m>0,m<\frac{1}{4}$ 。

当

$a>1$ 时，

$f(x)={{a}^{x}}$ 在[-1,2]上的最大值为

${{a}^{2}}=4$ ,解得

$a\text{=}2$ ,

∴

$f(x)$ 最小值为

$m={{a}^{-1}}=\frac{1}{2}$ ，不符合题意,舍去。

当

$0<a<1$ 时,

$f(x)={{a}^{x}}$ 在[-1,2]上的最大值为

${{a}^{-1}}=4$ ,解得

$a=\frac{1}{4}$ ,

∴

$f(x)$ 最小值为

$m={{a}^{2}}=\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$ ,符合题意。

∴求实数

$a$ 与

$m$ 的值为

$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$ 。

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