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高考数学必做百题第16题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第18题（理科2017版）
017.若函数$f(x)={{a}^{x}}(a>0,a\ne 1)$在$[-1,2]$上的最大值为4，最小值为$m$，且函数$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$在$[0,+\infty )$上是增函数，求实数$a$与$m$的值。
解：当$a>1$时，则${{a}^{2}}=4,\ \ {{a}^{-1}}=m$,
∴$a=2,m=\frac{1}{2}$,
此时$g(x)=-\sqrt{x}$为减函数,不合题意。
当$0<a<1$,则${{a}^{-1}}=4,\ \ {{a}^{2}}=m$,
∴$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$，
此时$g(x)=\frac{3\sqrt{x}}{4}$，是增函数，符合题意。
∴所求实数$a$与$m$的值为$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$。
另解：∵函数$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$在$[0,+\infty )$上是增函数，
∴$1-4m>0,m<\frac{1}{4}$。
当$a>1$时，$f(x)={{a}^{x}}$在[-1,2]上的最大值为${{a}^{2}}=4$,解得$a\text{=}2$,
∴$f(x)$最小值为$m={{a}^{-1}}=\frac{1}{2}$，不符合题意,舍去。
当$0<a<1$时,$f(x)={{a}^{x}}$在[-1,2]上的最大值为${{a}^{-1}}=4$,解得$a=\frac{1}{4}$,
∴$f(x)$最小值为$m={{a}^{2}}=\frac{1}{16}<\frac{1}{4}$,符合题意。
∴求实数$a$与$m$的值为$a=\frac{1}{4},m=\frac{1}{16}$。
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