高考数学必做百题第14题（理科2017版）

（1）$f\left( x \right)$可能是奇函数吗？

（2）若$f\left( x \right)$是偶函数，求$a$的值。

解：（1）假设$f\left( x \right)$是奇函数，由于定义域为$R$，

∴$f(-x)＝-f(x)$，即$\cfrac{{{e}^{x}}}{a}+\cfrac{a}{{{e}^{x}}}＝-(\cfrac{{{e}^{-x}}}{a}+\cfrac{a}{{{e}^{-x}}})$，

整理得$\left( a+\frac{1}{a} \right)\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)\text{=}0$，

即$a+\frac{1}{a}\text{=}0$，即$a^2 ＋1＝0$，显然无解。

∴$f\left( x \right)$不可能是奇函数。

（2）∵$f\left( x \right)$是偶函数，∴$f(－x)＝f(x)$，

即$\frac{{{e}^{x}}}{a}+\frac{a}{{{e}^{x}}}\text{=}\frac{{{e}^{-x}}}{a}+\frac{a}{{{e}^{-x}}}$，整理得$\left( a-\frac{1}{a} \right)\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)\text{=}0$，

又∵对任意$x\in R$都成立，

∴有$a-\frac{1}{a}\text{=}0$，得$a=\pm 1$。