高考数学必做百题第13题（理科2017版）

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 013. 已知函数$f(x)=\dfrac{ax+1}{2-x}\left( a\ne 0 \right)$。

（1）求$f(x)$的定义域与值域； 

（2）讨论$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调性。

解：（1）要使函数有意义，则$2-x\ne 0$，解得$x\ne 2$. 

∴函数$f(x)$的定义域是$\left( -\infty ,2 \right)\bigcup \left( 2,+\infty  \right)$。

∵$f(x)=\dfrac{ax+1}{2-x}=\dfrac{-a\left( 2-x \right)+2a+1}{2-x}=-a+\dfrac{2a+1}{2-x}$，

则

①当$2a+1=0$，即$a=-\dfrac{1}{2}$时，

$f(x)=\dfrac{1}{2}$，其值域是$\{y|y=\dfrac{1}{2}\}$；

②当$2a+1\ne 0$，即$a\ne -\dfrac{1}{2}$时，

$\dfrac{2a+1}{2-x}\ne 0$，

∴$f\left( x \right)\ne -a$，其值域是$\left\{ y|y\ne -a,a\ne 0 \right\}$。

（2）在区间$(2,+\infty )$上任取${{x}_{1}},{{x}_{2}}$，且${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，则$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=-a+\dfrac{2a+1}{2-{{x}_{1}}}-\left( -a+\dfrac{2a+1}{2-{{x}_{2}}} \right)$

$=\dfrac{\left( 2a+1 \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{\left( 2-{{x}_{1}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)}$，

∵${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，∴${{x}_{1}}-{{x}_{2}}<0$，

又${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2,+\infty  \right)$，∴$2-{{x}_{1}}<0,\ 2-{{x}_{2}}<0$， 

∴$\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{\left( 2-{{x}_{1}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)}<0$。

①若$2a+1>0$，即$a>-\dfrac{1}{2}$且$a\ne 0$时，

$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)<0$，即$f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$，

∴函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递增；

②若$2a+1=0$，即$a=-\dfrac{1}{2}$时，$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=0$，

即$f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$，

∴函数$f(x)=\dfrac{1}{2}$在$(2,+\infty )$上不增不减；

③若$2a+1<0$，即$a<-\dfrac{1}{2}$时，$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)>0$，

即$f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$，

∴函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递减；

综上所述，

当$a>-\dfrac{1}{2}$且$a\ne 0$时，函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递增；

当$a=-\dfrac{1}{2}$时，函数没有单调性；

当$a<-\dfrac{1}{2}$时，函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上单调递减。

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