高考数学必做百题第15题（理科2017版）

（1）求$f\left( -1 \right)$,$f\left( 2 \right)$,$f(a+2)$的值；

（2）判断$f(x)$的奇偶性，并说明理由；

（3）求出函数$f(x)$的单调区间.

解：（1）$f\left( -1 \right)=\left( -1 \right)\left( -1-3 \right)=4$；

$f\left( 2 \right)=2\times \left( 2+3 \right)=10$；

当$a+2\ge 0$，即$a\ge -2$时，

$f\left( a+2 \right)=\left( a+2 \right)\left( a+2+3 \right)={{a}^{2}}+7a+10$；

同理，当$a+2<0$，即$a<-2$时，

$f\left( a+2 \right)=\left( a+2 \right)\left( a+2-3 \right)={{a}^{2}}+a-2$，

∴$f\left( a+2 \right)=\left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}+7a+10,a\ge -2 \\ & {{a}^{2}}+a-2,a<-2 \\ \end{align} \right.$.

（2）当$x>0$时，则$-x<0$，那么

$f\left( -x \right)=\left( -x \right)\left( -x-3 \right)=x\left( x+3 \right)=f\left( x \right)$；

当$x<0$时，则$-x>0$，那么

$f\left( -x \right)=\left( -x \right)\left( -x+3 \right)=x\left( x-3 \right)=f\left( x \right)$；

又当$x=0$时，则$f\left( -x \right)=f\left( x \right)=0$；

∴函数$f(x)$在$R$上是偶函数。

（3）当$x>0$时，则

$f\left( x \right)=x\left( x+3 \right)={{\left( x+\frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{9}{4}$，

∴函数$f(x)$在$\left( 0,+\infty  \right)$上单调递增。

∵函数$f(x)$在$R$上是偶函数，

∴函数$f(x)$在$\left( -\infty ,0 \right)$上单调递减。