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高考数学必做百题第11题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第13题（理科2017版）
012. （1）（2016天津13）已知$f\left( x \right)$是定义在$R$上的偶函数，且在区间$\left( -\infty ,0 \right)$上单调递增.若实数$a$满足$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(-\sqrt{2})$，则$a$的取值范围是______。
（2）（2016天津理8）已知函数
$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+(4a-3)x+3a,x<0, \\ & {{\log }_{a}}(x+1)+1,x\ge 0 \\ \end{align} \right.$$\left( a>0,a\ne 1 \right)$在$R$上单调递减，且关于x的方程$|f(x)|=2-x$恰好有两个不相等的实数解，则$a$的取值范围是（ ）
A.$\left(0,\dfrac{2}{3}\right]$ B.$\left[\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4}\right]$
C.$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right] \bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$ D.$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)\bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$
解：（1）∵偶函数$f\left( x \right)$在$\left( 0,+\infty \right)$上递减，
∴$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(-\sqrt{2})$转化为$f({{2}^{\left| a-1 \right|}})>f(\sqrt{2})$，
转化为${{2}^{\left| a-1 \right|}}<\sqrt{2}$，转化为$\left| a-1 \right|<\dfrac{1}{2}$，
解得$\dfrac{1}{2}<a<\dfrac{3}{2}$。
∴$a$的取值范围是$\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2} \right)$。
（2）∵$f(x)$在$R$上递减，（分析的关键！）
∴ $\left\{ \begin{align} & 3-4a\ge 0 \\ & 3a\ge 1,0<a<1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \dfrac{1}{3}\le a\le \dfrac{3}{4}$，（可借助图像）
∵方程$|f(x)|=2-x$恰好有两个不相等的实数解，
∴$3a\le 2$，$\dfrac{1}{a}-1\le 2$，$\dfrac{1}{3}\le a\le \dfrac{2}{3}$，
又∵$a=\dfrac{3}{4}$时，抛物线$y={{x}^{2}}+(4a-3)x+3a$与直线$y=2-x$相切，也符合题意，
∴实数$a$的去范围是$\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right]\bigcup \left\{\dfrac{3}{4}\right\}$，故选$C$。
说明：取$a=\dfrac{2}{3}$，则$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+2,x<0, \\ & {{\log }_{\frac{2}{3}}}(x+1)+1,x\ge 0 \\ \end{align} \right.$，
显然，曲线${{\log }_{\frac{2}{3}}}(x+1)+1,x\ge 0$与直线$y=2-x$只有一个交点，
而二次曲线${{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+2,x<0$与直线$y=2-x$有一个交点，（或画其大致图像探索）
∴方程$|f(x)|=2-x$，只有两个实数解。
∴$a= \dfrac{2}{3}$，故选C。（特殊值排除法好！把求解转化为鉴定解决）
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