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高考数学必做百题第02题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第04题（理科2017版）
003. 已知集合$A=\left\{ {{a}^{2}},a+1,-3 \right\}$，$B=\left\{ a-3,a-2,{{a}^{2}}+1 \right\}$。
（1）若$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$，求$A∪B$；
（2）存在实数$a$，使得$A=B$吗？说明理由。
解：（1）∵$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$，∴$-3\in B$。
又∵${{a}^{2}}+1\ge 1$，∴$a-3=-3$，或$a-2=-3$。
①当$a-3=-3$，即$a=0$时， $A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$，
$B=\left\{ -3,-2,1 \right\}$，∴$A\bigcap B=\left\{ 1,-3 \right\}$,
与$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$矛盾，∴$a=0$舍去。
②当$a-2=-3$，即$a=-1$时，
$A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$，$B=\left\{ -4,-3,2 \right\}$，
∴$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$。
∴$A\bigcup B=\left\{ -4,-3,0,1,2 \right\}$。
（2）假设存在实数$a$，使得$A=B$，
∵${{a}^{2}}+1\ge 1$，∴${{a}^{2}}+1\ne {{a}^{2}}$且${{a}^{2}}+1\ne -3$，
则只有 $a+1={{a}^{2}}+1$，解得$a=0$或$a=1$。
①若$a=0$，则$A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$，$B=\left\{ -3,-2,1 \right\}$，
显然$A\ne B$；
②若$a=1$，则$A=\left\{ 1,2,-3 \right\}$，$B=\left\{ -2,-1,2 \right\}$，
显然$A\ne B$。
综上所述，不存在实数$a$，使得$A=B$。
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