003. 已知集合$A=\left\{ {{a}^{2}},a+1,-3 \right\}$,$B=\left\{ a-3,a-2,{{a}^{2}}+1 \right\}$。
(1)若$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$,求$A∪B$;
(2)存在实数$a$,使得$A=B$吗?说明理由。
解:(1)∵$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$,∴$-3\in B$。
又∵${{a}^{2}}+1\ge 1$,∴$a-3=-3$,或$a-2=-3$。
①当$a-3=-3$,即$a=0$时, $A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$,
$B=\left\{ -3,-2,1 \right\}$,∴$A\bigcap B=\left\{ 1,-3 \right\}$,
与$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$矛盾,∴$a=0$舍去。
②当$a-2=-3$,即$a=-1$时,
$A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$,$B=\left\{ -4,-3,2 \right\}$,
∴$A\bigcap B=\left\{ -3 \right\}$。
∴$A\bigcup B=\left\{ -4,-3,0,1,2 \right\}$。
(2)假设存在实数$a$,使得$A=B$,
∵${{a}^{2}}+1\ge 1$,∴${{a}^{2}}+1\ne {{a}^{2}}$且${{a}^{2}}+1\ne -3$,
则只有 $a+1={{a}^{2}}+1$,解得$a=0$或$a=1$。
①若$a=0$,则$A=\left\{ 0,1,-3 \right\}$,$B=\left\{ -3,-2,1 \right\}$,
显然$A\ne B$;
②若$a=1$,则$A=\left\{ 1,2,-3 \right\}$,$B=\left\{ -2,-1,2 \right\}$,
显然$A\ne B$。
综上所述,不存在实数$a$,使得$A=B$。