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高考数学必做百题第20题（文科2017版）<-->高考数学必做百题第22题（文科2017版）
021. 对于函数$f(x)=\dfrac{2\cdot {{3}^{x}}+1}{{{3}^{x}}+1}$.
（1）探索函数$f(x)$的单调性，并证明之；
（2）函数$f(x)$是奇函数吗？说明理由。
解：（1）$f(x)$的定义域为R，判断函数$f(x)$在$R$上是增函数。证明如下：
∵$f(x)=\dfrac{2\cdot {{3}^{x}}+1}{{{3}^{x}}+1}=\dfrac{2\left( {{3}^{x}}+1 \right)-1}{{{3}^{x}}+1}=2-\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，
设${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，则
$f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=2-\dfrac{1}{{{3}^{{{x}_{1}}}}+1}-2+\dfrac{1}{{{3}^{{{x}_{2}}}}+1}$ $=\dfrac{{{3}^{{{x}_{1}}}}-{{3}^{{{x}_{2}}}}}{({{3}^{{{x}_{1}}}}+1)({{3}^{{{x}_{2}}}}+1)}$，
∵${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, ∴${{3}^{{{x}_{1}}}}-{{3}^{{{x}_{2}}}}<0,\ \ ({{3}^{{{x}_{1}}}}+1)({{3}^{{{x}_{2}}}}+1)>0$，
∴$f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})<0$，即$f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$，
∴函数$f(x)$在$R$上是增函数。
（2）∵$f(x)=2-\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，假设函数$f(x)$为奇函数, 当且仅当$f(-x)=-f(x)$，
即$2-\dfrac{1}{{{3}^{-x}}+1}=-2+\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，
∴$4=\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}+\dfrac{1}{{{3}^{-x}}+1}=\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}+\dfrac{{{3}^{x}}}{1+{{3}^{x}}}=1$，矛盾，
∴假设错误，函数$f(x)$不是奇函数。
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