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高考数学必做百题第19题（文科2017版）<-->高考数学必做百题第21题（文科2017版）
020. 已知函数$f(x)={{\log }_{a}}(x+3)$，
$g(x)={{\log }_{a}}(3-x)$，其中$(a>0\ a\ne 1\ )$。
（1）求函数$f(x)+g(x)$的定义域；
（2）判断$f(x)+g(x)$的奇偶性，并说明理由；
（3）求使$f(x)-g(x)>0$成立的$x$的集合.
解：（1）$f(x)+g(x)={{\log }_{a}}(x+3)+{{\log }_{a}}(3-x)$.
若要上式有意义，当且仅当$\left\{ \begin{align} & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ \end{align} \right.$，
即$-3<x<3$。
∴所求定义域为$\left\{ x\left| -3<x<3 \right. \right\}$。
（2）设$F(x)=f(x)+g(x)={{\log }_{a}}(x+3)+\log (3-x)$，
则$F(-x)=f(-x)+g(-x)$
$\begin{align} & ={{\log }_{a}}(-x+3)+\log (3+x) \\ & ={{\log }_{a}}(x+3)+\log (3-x) \\ & =F(x) \\ \end{align}$
∴$f(x)+g(x)$是偶函数。
（3）$f(x)-g(x)>0$，
即 ${{\log }_{a}}(x+3)-{{\log }_{a}}(3-x)>0$，
${{\log }_{a}}(x+3)>{{\log }_{a}}(3-x)$，
①当$0<a<1$时，函数${{\log }_{a}}u$单调递减，
不等式等价于$\left\{ \begin{align} & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ & x+3<3-x \\ \end{align} \right.$，
解得$-3<x<0$；
②当$a>1$时，函数${{\log }_{a}}u$单调递增，
不等式等价于$\left\{ \begin{align} & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ & x+3>3-x \\ \end{align} \right.$，
解得$0<x<3$。
综上所述,，
当$0<a<1$时，原不等式的解集为$\{x|-3<x<0\}$；
当$a>1$时，原不等式的解集为$\{x|0<x<3\}$。
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