高考数学必做百题第20题（文科2017版）

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020. 已知函数$f(x)={{\log }_{a}}(x+3)$，

$g(x)={{\log }_{a}}(3-x)$，其中$(a>0\ a\ne 1\ )$。 

（1）求函数$f(x)+g(x)$的定义域；  

（2）判断$f(x)+g(x)$的奇偶性，并说明理由；

（3）求使$f(x)-g(x)>0$成立的$x$的集合.   

解：（1）$f(x)+g(x)={{\log }_{a}}(x+3)+{{\log }_{a}}(3-x)$.

若要上式有意义，当且仅当$\left\{ \begin{align}  & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ \end{align} \right.$，

即$-3<x<3$。

∴所求定义域为$\left\{ x\left| -3<x<3 \right. \right\}$。

（2）设$F(x)=f(x)+g(x)={{\log }_{a}}(x+3)+\log (3-x)$， 

则$F(-x)=f(-x)+g(-x)$

$\begin{align}  & ={{\log }_{a}}(-x+3)+\log (3+x) \\ & ={{\log }_{a}}(x+3)+\log (3-x) \\ & =F(x) \\ \end{align}$

∴$f(x)+g(x)$是偶函数。

（3）$f(x)-g(x)>0$，

即 ${{\log }_{a}}(x+3)-{{\log }_{a}}(3-x)>0$，

${{\log }_{a}}(x+3)>{{\log }_{a}}(3-x)$，

①当$0<a<1$时，函数${{\log }_{a}}u$单调递减，

不等式等价于$\left\{ \begin{align}  & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ & x+3<3-x \\ \end{align} \right.$，

解得$-3<x<0$；

②当$a>1$时，函数${{\log }_{a}}u$单调递增，

不等式等价于$\left\{ \begin{align}  & x+3>0 \\ & 3-x>0 \\ & x+3>3-x \\ \end{align} \right.$，

解得$0<x<3$。

综上所述,，

当$0<a<1$时，原不等式的解集为$\{x|-3<x<0\}$；

当$a>1$时，原不等式的解集为$\{x|0<x<3\}$。

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