高考数学必做百题第19题（文科2017版）

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019.若函数$f(x)={{a}^{x}}(a>0,a\ne 1)$在$\left[ -1.2 \right]$上的最大值为$4$，最小值为$m$,且函数$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$在$[0,+\infty )$上是增函数，求实数$a$与$m$的值。

解：①当$a>1$时，$f\left( x \right)$是增函数，

∴${{a}^{2}}=4,\ \ {{a}^{-1}}=m$，解得$a=2,m=\dfrac{1}{2}$，

此时$g(x)=-\sqrt{x}$为减函数，不合题意。

②当$0<a<1$,$f\left( x \right)$是减函数，

∴${{a}^{-1}}=4,\ \ {{a}^{2}}=m$，解得$a=\dfrac{1}{4},m=\dfrac{1}{16}$，

此时$g(x)=\dfrac{3\sqrt{x}}{4}$是增函数，符合题意。

∴所求实数$a$与$m$的值分别为$a=\dfrac{1}{4},m=\dfrac{1}{16}$。

另解：∵函数$g(x)=(1-4m)\sqrt{x}$在$[0,+\infty )$上是增函数，

∴$1-4m>0,m<\dfrac{1}{4}$。

①当$a>1$ 时，$f(x)={{a}^{x}}$在[-1,2]上的最大值为${{a}^{2}}=4$，解得$a=2$。

∴$f(x)$最小值为$m={{a}^{-1}}=\dfrac{1}{2}$，不符合题意，舍去。

②当$0<a<1$时，$f(x)={{a}^{x}}$在[-1,2]上的最大值为${{a}^{-1}}=4$，解得$a=\dfrac{1}{4}$。

∴$f(x)$最小值为$m={{a}^{2}}=\dfrac{1}{16}<\dfrac{1}{4}$，符合题意。 

∴求实数$a$与$m$的值为$a=\dfrac{1}{4},m=\dfrac{1}{16}$。

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