高考数学必做百题第18题（文科2017版）

018. 已知函数$f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+3x,x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-3x,x<0 \\ \end{align} \right.$，

（1）求$f\left( -2 \right)$,$f\left( 3 \right)$,$f(a-2)$的值；

（2）判断$f(x)$的奇偶性，并说明理由；

（3）求出函数$f(x)$的单调区间.

解：（1）$f\left( -2 \right)={{\left( -2 \right)}^{2}}-3\times \left( -2 \right)=10$；

$f\left( 3 \right)={{3}^{2}}+3\times 3=18$；

当$a-2\ge 0$，即$a\ge 2$时，

$f\left( a-2 \right)={{\left( a-2 \right)}^{2}}+3\left( a-2 \right)={{a}^{2}}-a-2$；

同理，当$a-2<0$，即$a<2$时，

$f\left( a-2 \right)={{\left( a-2 \right)}^{2}}-3\left( a-2 \right)={{a}^{2}}-7a+10$，

∴$f\left( a-2 \right)=\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}-a-2,a\ge 2 \\ & {{a}^{2}}-7a+10,a<2 \\ \end{align} \right.$.

（2）当$x>0$时，则$-x<0$，那么

$f\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{2}}-3\left( -x \right)={{x}^{2}}+3x=f\left( x \right)$；

当$x<0$时，则$-x>0$，那么

$f\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{2}}+3\left( -x \right)={{x}^{2}}-3x=f\left( x \right)$；

又当$x=0$时，则$f\left( -x \right)=f\left( x \right)=0$；

∴函数$f(x)$在$R$上是偶函数。

（3）当$x>0$时，则

$f\left( x \right)={{x}^{2}}+3x={{\left( x+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{9}{4}$，

∴函数$f(x)$在$\left( 0,+\infty \right)$上单调递增。

∵函数$f(x)$在$R$上是偶函数，

∴函数$f(x)$在$\left( -\infty ,0 \right)$上单调递减。

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