高考数学必做百题第17题（文科2017版）

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017. 已知函数$f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}$。

（1）求$f(x)$的定义域与值域； 

（2）证明$f(x)$在$(2,+\infty )$上递增。

解：（1）要使函数有意义，则$2-x\ne 0$，解得$x\ne 2$。

∴函数$f(x)$的定义域是$\{x|x\ne 2\}$.

∵$f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}=\dfrac{-\left( 2-x \right)+2+1}{2-x}=-1+\dfrac{3}{2-x}$

又$\dfrac{3}{2-x}\ne 0$，∴$f\left( x \right)\ne -1$。

∴函数$f(x)$的值域为$\{y|y\ne -1\}$。

（2）在区间$(2,+\infty )$上任取${{x}_{1}},{{x}_{2}}$，且${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，则$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{{{x}_{1}}+1}{2-{{x}_{1}}}-\dfrac{{{x}_{2}}+1}{2-{{x}_{2}}}$

$=\dfrac{3\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{\left( 2-{{x}_{1}} \right)\left( 2-{{x}_{2}} \right)}$，

∵${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，∴${{x}_{1}}-{{x}_{2}}<0$，

又${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2,+\infty  \right)$，∴$2-{{x}_{1}}<0,\ 2-{{x}_{2}}<0$， 

∴$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)<0$，即$f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$，

∴函数$f(x)$在$(2,+\infty )$上递增。

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