高考数学必做百题第16题（文科2017版）

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016.（1）已知函数$f(x)$ 有三个零点，且对一切实数$x$ 都满足$f\left( 1+x \right)=f\left( 1-x \right)$，则三个零点的和为___________。

（2）已知二次函数$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3mx+m$的零点分布在区间$\left( -1,0 \right),\ \left( 0,2 \right)$内，则实数$m$的取值范围是_____________。

解：（1）∵$f\left( 1+x \right)=f\left( 1-x \right)$，

∴函数$f\left( x \right)$关于直线$x=1$对称。

∵函数$f\left( x \right)$有三个零点，设为${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$，

则${{x}_{2}}=1$是函数$f\left( x \right)$的一个零点，另外2个零点${{x}_{1}},{{x}_{3}}$必关于直线$x=1$对称，

∴${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3$。

考点：函数图像对称性，函数零点。

（2）∵函数$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3mx+m$的零点分布在区间$\left( -1,0 \right),\ \left( 0,2 \right)$内，

根据函数零点的存在性定理

∴$\left\{ \begin{align}  & f(-1)\cdot f(0)<0 \\ & f(2)\cdot f(0)<0 \\ \end{align} \right.$，

即$\left\{ \begin{align}  & (4m+2)m<0 \\ & (8-5m)m<0 \\ \end{align} \right.$，  

解得$\left\{ \begin{matrix}   -\dfrac{1}{2}<m<0  \\   m<0m>\dfrac{8}{5}  \\\end{matrix} \right.$， 

∴$-\dfrac{1}{2}<m<0$，

∴所求$m$的取值范围是$-\dfrac{1}{2}<m<0$。

考点；函数零点存在性定理，二次不等式。

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