高考数学必做百题第15题(文科2017版)<-->高考数学必做百题第17题(文科2017版)
016.(1)已知函数f(x) 有三个零点,且对一切实数x 都满足f(1+x)=f(1−x),则三个零点的和为___________。
(2)已知二次函数f(x)=2x2−3mx+m的零点分布在区间(−1,0), (0,2)内,则实数m的取值范围是_____________。
解:(1)∵f(1+x)=f(1−x),
∴函数f(x)关于直线x=1对称。
∵函数f(x)有三个零点,设为x1,x2,x3,
则x2=1是函数f(x)的一个零点,另外2个零点x1,x3必关于直线x=1对称,
∴x1+x2+x3=3。
考点:函数图像对称性,函数零点。
(2)∵函数f(x)=2x2−3mx+m的零点分布在区间(−1,0), (0,2)内,
根据函数零点的存在性定理
∴{f(−1)⋅f(0)<0f(2)⋅f(0)<0,
即{(4m+2)m<0(8−5m)m<0,
解得{−12<m<0m<0m>85,
∴−12<m<0,
∴所求m的取值范围是−12<m<0。
考点;函数零点存在性定理,二次不等式。
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