高考数学必做百题第14题（文科2017版）

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函数

014.（1）（2016山东文9）已知函数f(x)的定义域为R。当$x<0$时，$f(x)={{x}^{3}}-1$；当$-1\le x\le 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$；当$x>\dfrac{1}{2}$ 时，$f(x+\dfrac{1}{2})=f(x-\dfrac{1}{2})$。则$f\left( 6 \right)=$（   ）

A.−2     B.−1     C.0     D.2

（2）（2016浙江文12）设函数

$f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$．已知$a\ne 0$，且

$f\left( x \right)-f\left( a \right)=\left( x-b \right){{\left( x-a \right)}^{2}}$，$x\in R$，则实数

$a=$=_____，$b=$______。

解：（1）当$x>\dfrac{1}{2}$时，$f(x+\dfrac{1}{2})=f(x-\dfrac{1}{2})$，

∴当$x>\dfrac{1}{2}$时，函数$f(x)$是周期为$1$的周期函数，∴$f(6)=f(1)$。又函数$f(x)$是奇函数，

∴$f(1)=-f(-1)=-\left[ {{\left( -1 \right)}^{3}}-1 \right]=2$。故选D。

考点：函数的奇偶性与周期性，分段函数。

（2）$f\left( x \right)-f\left( a \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-1$

$={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}$

$\left( x-b \right){{\left( x-a \right)}^{2}}={{x}^{3}}-\left( 2a+b \right){{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}+2ab \right)x-{{a}^{2}}b$，

∴$\left\{ \begin{align}  & -2a-b=3 \\ & {{a}^{2}}+2ab=0 \\ & -{{a}^{2}}b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}} \\ \end{align} \right.$，解得$\left\{ \begin{align}  & a=-2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$。

考点：函数解析式。

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