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高考数学必做百题第13题（文科2017版）<-->高考数学必做百题第15题（文科2017版）
函数
014.（1）（2016山东文9）已知函数f(x)的定义域为R。当$x<0$时，$f(x)={{x}^{3}}-1$；当$-1\le x\le 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$；当$x>\dfrac{1}{2}$ 时，$f(x+\dfrac{1}{2})=f(x-\dfrac{1}{2})$。则$f\left( 6 \right)=$（ ）
A.−2 B.−1 C.0 D.2
（2）（2016浙江文12）设函数
$f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$．已知$a\ne 0$，且
$f\left( x \right)-f\left( a \right)=\left( x-b \right){{\left( x-a \right)}^{2}}$，$x\in R$，则实数
$a=$=_____，$b=$______。
解：（1）当$x>\dfrac{1}{2}$时，$f(x+\dfrac{1}{2})=f(x-\dfrac{1}{2})$，
∴当$x>\dfrac{1}{2}$时，函数$f(x)$是周期为$1$的周期函数，∴$f(6)=f(1)$。又函数$f(x)$是奇函数，
∴$f(1)=-f(-1)=-\left[ {{\left( -1 \right)}^{3}}-1 \right]=2$。故选D。
考点：函数的奇偶性与周期性，分段函数。
（2）$f\left( x \right)-f\left( a \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-1$
$={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}$
$\left( x-b \right){{\left( x-a \right)}^{2}}={{x}^{3}}-\left( 2a+b \right){{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}+2ab \right)x-{{a}^{2}}b$，
∴$\left\{ \begin{align} & -2a-b=3 \\ & {{a}^{2}}+2ab=0 \\ & -{{a}^{2}}b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}} \\ \end{align} \right.$，解得$\left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$。
考点：函数解析式。
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